ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (32)

แบบฝึกทักษะ (5)

5.  รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งเมื่อเพิ่มความยาวของด้านอีกด้านละ  3  เซนติเมตร จะทำให้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปใหม่และรูปเดิมมีผลบวกเท่ากับ  425  ตารางเซนติเมตร  รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิมมีด้านยาวเท่าไร

                                                                                                                                             

ข้อ 5  ตอบ  รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิมมีด้านยาว  13  เซนติเมตร

แนวคิด   สมมุติให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีด้านยาว   m   เซนติเมตร    ดังนั้นมีพื้นที่   m ²   ตารางเซนติเมตร

              ถ้าเพิ่มความยาวอีกด้านละ  3  เซนติเมตร  เป็น  m + 3  เซนติเมตร  และมีพื้นที่  ( m + 3 ) ²  ตารางเซนติเมตร

                เพราะว่ามีพื้นที่รวมกันเป็น  425  ตารางเซนติเมตร  จะได้สมการ

                                            ( m + 3 ) ² +  m ²   =   425

                                       m ² + 6m + 9 +  m ²   =   425

                                                2m ² + 6m + 9   =   425

                                       2m ² + 6m + 9 – 425   =   425  – 425

                                             2m ² + 6m  – 416   =  0

                                     หารด้วย  2  ทั้งสองข้างของสมการ

                                               m ² + 3m  – 208   =  0

                                              (m  + 16)(m – 13)   =  0

               จะได้ว่า      m + 16  =  0              หรือ       m – 13  =  0

                                        m   =   – 16        หรือ              m   =  13

             แต่เนื่องจาก  m   เป็นความยาวของด้าน   ต้องใช้ค่า   m   =  13

                 ดังนั้น  รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเดิมความยาวด้าน  13  เซนติเมตร

 ตรวจคำตอบ    ห้องสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ  13  เซนติเมตร จะมีพื้นที่  13 x 13  =  169  ตารางเซนติเมตร

          ถ้าเพิ่มความยาวอีกด้านละ  3  เมตร เป็น   13 + 3  =  16  เมตร  จะมีพื้นที่  16 x 16  =  256  ตารางเซนติเมตร

              ทำให้มีพื้นที่รวมกัน   =   169 + 256  =  425   ตารางเซนติเมตร จริง

หมายเหตุ   สามารถใช้ตารางในการหาคำตอบก็ได้ โดยใช้ตารางดังต่อไปนี้

ความยาวด้านเดิม	ความยาวด้านใหม่	พื้นที่เดิม	พื้นที่ใหม่	ผลบวกของพื้นที่
1	4	1	16	17
2	5	4	25	29
...	...	...	...	...
13	16	169	256	425

  

q

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (31)

แบบฝึกทักษะ (4)

4.  ถ้า  m  เป็นเลขโดด และทำให้จำนวน  m3749m0  หารด้วย  60  ลงตัว  จงหาจำนวนจำนวนนี้

ข้อ  4  ตอบ   2374920   หรือ   8374980

แนวคิด   จำนวน  m3749m0 หารด้วย  60  ลงตัว   แสดงว่า   m3749m หารด้วย  6  ลงตัว

     จำนวนที่หารด้วย  6  ลงตัว คือจำนวนที่เมื่อหารด้วย 2  และ  3  แล้วจะต้องหารลงตัวทั้งคู่

      ดังนั้น  m3749m   จะต้องเป็นจำนวนคู่ และผลบวกของเลขโดดทุกตัวหารด้วย  3  ลงตัว

               

      จะได้ว่า  m  ต้องเป็นจำนวนคู่  ซึ่งอาจจะเป็น   0  ,  2  ,  4  ,  6  ,  หรือ  8

      ต่อไปพิจารณา   m + 3 + 7 + 4 + 9 + m   ต้องหารด้วย  3  ลงตัว

      เมื่อลองแทนค่า  m  ด้วย   0  ,  2  ,  4  ,  6  ,  หรือ  8

  จะพบว่า    m  =  2    จะทำให้ผลบวก  m + 3 + 7 + 4 + 9 + m  เท่ากับ  27     ซึ่ง  3  หารลงตัว

           และ  m  =  8    จะทำให้ผลบวก  m + 3 + 7 + 4 + 9 + m  เท่ากับ  39     ซึ่ง  3  หารลงตัว

                ดังนั้น  มีจำนวนที่เป็นไปได้  2  ค่า   คือ   2374920   หรือ   8374980

                                                                                                                                                                                                   q

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (30)

แบบฝึกทักษะ (3)

3.   รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านเป็นจำนวนนับ และมีคุณสมบัติ “ จำนวนที่แสดงความยาวเส้นรอบรูปและจำนวนที่แสดงพื้นที่เป็นจำนวนเดียวกัน “  จงหารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากดังกล่าวมาสองรูป

ข้อ 3  ตอบ  รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีขนาด 3 x 6 ตารางหน่วย และ 4 x 4  ตารางหน่วย

แนวคิด                   สร้างตารางวิเคราะห์ปัญหา ดังนี้

                รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้งสองคือ

รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านกว้าง  3  หน่วย  ด้านยาว  6  หน่วย

     และ  รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านกว้าง  4  หน่วย  ด้านยาว  4  หน่วย

q

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (29)

แบบฝึกทักษะ (2)

2.  การแข่งขันฟุตบอลรายการหนึ่งมีทีมฟุตบอลเข้าร่วมการแข่งขัน  7  ทีม ถ้าการแข่งขันรายการนี้จัดแข่งแบบพบกันหมด และจัดแข่งทุกวัน วันละหนึ่งคู่  จงหาว่าจะต้องจัดการแข่งขันกี่วัน

ข้อ 2     ตอบ   21  วัน

แนวคิด   สมมุติให้ทีมฟุตบอลเป็นทีม  A   B   C   D   E   F  และ  G   เนื่องจากเป็นการแข่งขันแบบพบกันหมด ซึ่งหมายความว่า ทีม  A  จะไม่แข่งกับตัวเอง   และทีม  A  กับ ทีม  B  จะแข่งกันเพียงครั้งเดียว  ไม่เหมือนกับการแข่งขันแบบเหย้า-เยือนที่ทีม  A  และ ทีม  B  ผลัดกันเป็นเจ้าบ้าน ซึ่งจะทำให้ทีม  A  กับ ทีม  B  ได้แข่งกัน  2  ครั้ง    ดังนั้นด้วยเงื่อนไขดังกล่าวนี้  เมื่อเราใช้แผนภาพต้นไม้แก้ปัญหา ก็จะได้เป็นต้นไม้ที่ไม่สมบูรณ์ 

            แผนภาพต้นไม้แสดงการจัดการแข่งขันมีลักษณะดังนี้

  

q

          สำหรับการคำนวณก็สามารถทำได้ โดยใช้ความรู้ในเรื่อง  “ วิธีจัดหมู่ (Combination) “

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (28)

แบบฝึกทักษะ

1.  เดชาเป็นนักสะสมรถยนต์ย่อส่วน  และเพื่อให้การจัดเก็บเป็นระบบ เขาจึงออกแบบรหัสให้กับของสะสมแต่ละชิ้น ดังนี้

                      (1)  เป็นจำนวนที่มีสามหลัก

                      (2)  หลักร้อยเป็นเลขโดดที่มีค่าน้อยกว่า 3

                      (3)  หลักสิบเป็นเลขโดดที่มีค่ามากกว่า 7

                      (4)  หลักหน่วยเป็นจำนวนคี่

     จงหาว่าเดชาจะมีรถยนต์ย่อส่วนได้ทั้งหมดกี่คัน ถ้ารถยนต์ย่อส่วนแต่ละคันใช้รหัสที่ไม่ซ้ำกัน

ข้อ 1   ตอบ  20  คัน

แนวคิด   สามารถสร้างรหัสที่แตกต่างกันทั้งหมด ดังแผนภาพต้นไม้ต่อไปนี้

       และเพราะว่าเป็นแผนภาพต้นไม้แบบสมบูรณ์ คือ การแตกกิ่งมีจำนวนเท่ากันในแต่ละช่วง

     

ดังนั้นเราสามารถใช้การคำนวณได้    จำนวนรหัสที่สร้างได้   =   2 x 2 x 5  =  20  รหัส 

q

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (27)

การตัดข้อมูลที่ไม่เกี่ยวข้องออก (2)

ตัวอย่าง 9.2   กำหนดให้ เกม “ทายเลขทายใจ” มีกติกาดังนี้

                 1.  มีผู้เล่น  2  คน  เป็นผู้ซ่อน  และผู้ทาย

                 2.  จำนวนที่ผู้ซ่อนตั้งไว้  เป็นจำนวนสามหลัก  ไม่ใช้เลขโดดซ้ำ  เช่น  จะซ่อน   1 4 1  ไม่ได้

                 3.  ในแต่ละครั้งที่ผู้ทายบอกจำนวนที่ทาย ผู้ซ่อนจะต้องบอกข้อมูลความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนที่ทายกับจำนวนที่ซ่อน เพื่อให้ผู้ทายวิเคราะห์หาคำตอบ  ดังนี้

                      (1)  ผู้ซ่อนต้องบอกว่าเลขโดดในจำนวนที่ทายมีกี่ตัวที่เป็นเลขโดดที่ใช้ในจำนวนที่ซ่อน

      และ         (2)  ผู้ซ่อนต้องบอกว่าเลขโดดในจำนวนที่ทายมีกี่ตัวที่เป็นเลขโดดตัวเดียวกันและอยู่ในตำแหน่งเดียวกันกับจำนวนที่ซ่อน

            เช่น   ผู้ซ่อน  ซ่อนจำนวน   3 0 4     ถ้าผู้ทาย ทายว่า  4 0 1  ผู้ซ่อนจะต้องบอกข้อมูล  2  ประการ ดังนี้  
                      (1)   ทายเลขโดดถูกต้อง  2  ตัว   ( คือ  0 และ 4 )

       และ         (2)   ทายเลขโดดในตำแหน่งที่ถูกต้อง  1  ตำแหน่ง   ( คือ 0 )

                ในเกม “ทายเลขทายใจ”  เกมหนึ่งมีผลการทายดังนี้

                พอมาถึงจุดนี้ผู้ทายบอกว่าเขามีข้อมูลเพียงพอที่จะวิเคราะห์หาคำตอบได้แล้ว   อยากทราบว่าจำนวนที่ผู้ซ่อนซ่อนไว้คือจำนวนใด

แนวคิด    จากข้อมูลบรรทัดที่ 1   ทำให้ทราบว่า ไม่มีเลขโดด  1  ,  2  และ  3  อยู่ในจำนวนที่ซ่อน

                บรรทัดที่ 2  ทำให้ทราบว่า มีเลข  4 หรือ  5 หรือ  6  ทายถูก  1  ตัว และอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้องด้วย

                บรรทัดที่ 3  ทำให้ทราบว่า  มีเลขโดดทายถูกอีก  1  ตัว แต่ไม่ได้อยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้อง

                และจากบรรทัดที่ 1 , 2 และ 3  ทำให้ทราบว่า  เลขโดด  “ 0 “  เป็นเลขโดดตัวหนึ่งในจำนวนที่ซ่อนอย่างแน่นอน

                บรรทัดที่ 4  มีเลขโดดถูกเพียงตัวเดียว และไม่ตรงตำแหน่ง  เพราะว่า  0  เป็นเลขตัวหนึ่งในจำนวนที่ซ่อน  ดังนั้น  7  และ  6  ไม่ได้เป็นเลขโดดในจำนวนที่ซ่อน

                บรรทัดที่ 5  มีเลขโดดถูกเพียงตัวเดียว และไม่ตรงตำแหน่ง  ดังนั้น  4  และ  8  ไม่ได้ใช่เลขโดดในจำนวนที่ซ่อน

                ถึงจุดนี้ก็จะทราบแล้วว่าจำนวนที่ซ่อนจะมีเลขโดด  0  ,  5  และ  9

                บรรทัดที่  2  เพราะว่าไม่ใช่  4  และ  6   ดังนั้น  “ 5 “  เป็นเลขโดดที่ถูกและอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้องด้วย

                บรรทัดที่ 4 และ 5  แสดงให้เห็นว่าตำแหน่งของ “ 0 “  ต้องอยู่ในหลักหน่วย

                จะได้ว่า จำนวนที่ซ่อน คือ  9 5 0

ตอบ    จำนวนที่ซ่อน คือ  9 5 0

q

          ครบทั้ง  9  ยุทธวิธีแล้ว ชุดต่อไปจะเป็นโจทย์ปัญหาที่แก้โดยใช้ยุทธวิธีต่างๆ 

  ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์  ชุดนี้เรียบเรียงจากแหล่งความรู้ต่างๆ  เช่น

          1.  ประพันธ์ศิริ  สุเสารัจ.  คิดเก่ง สมองไว.  บริษัท โปรดัคทีฟ บุ๊ค จำกัด  กรุงเทพฯ พิมพ์ครั้งที่ 2, 2542.

          2.  สมเดช  บุญประจักษ์.  การแก้ปัญหา.  คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี สถาบันราชภัฎพระนคร กรุงเทพฯ, 2543.

          3.  สำนักงานเลขาธิการสภาการศึกษา. คู่มือการสอนหลักสูตรเพิ่มพูนประสบการณ์สำหรับนักเรียนที่มีความสามารถพิเศษ ด้านคณิตศาสตร์ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย. บริษัท พิมพ์ดี จำกัด กรุงเทพฯ, 2547.

          4.  วารสารวิทยาศาสตร์ และคณิตศาสตร์ทางการศึกษา  มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ , ช่วงปี 2523 – 2525.

          5.  Martin Gardner. More Mathematical Puzzles and Diversions. Penguin Books, 1961.

          6.  William E. Mitchell and Thomas F.Kowalik. Creative Problem Solving. Third Edition, 1999.

          7.  http://school.obec.go.th/math_sup/polya2.htm

          8.  http://en.wikipedia.org/wiki/George_P%C3%B3lya

          9.  การพัฒนากระบวนการคิด  http://www.bsru.ac.th/study/decision/ex2/a2.htm

         10.  http://math1.snru.ac.th/UserFiles/File/math1@snru/thinking%20and%20decise%20subject/t1112-22.doc

         11.  http://library.thinkquest.org/25459/learning/problem/

         12.  http://library.thinkquest.org/4471/learn.htm

         13.  http://members.optusnet.com.au/charles57/Creative/Brain/cps.htm

         14.  http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/knowledge_math/sequence/sequenc1.html

         15.  http://condor.admin.ccny.cuny.edu/~ks7271/

         16.  http://www.onlinemathlearning.com/math-problem-solving-strategies.html

         17.  http://glencoe.com/sites/common_assets/mathematics/math_review/PS_Simpler_Problem.pdf

         18.  http://fcit.usf.edu/math/resource/fcat/strat.htm

         19.  http://en.wikipedia.org/wiki/Bulls_and_cows

         20.  http://www.mathsisfun.com/games/bulls-and-cows.html

         21.  www.math.okstate.edu/system/files/hsc/exams/exam02.pdf

         22.  http://www.mymindmap.net/images/Mind_Map_Template_Mulit_Rnd_small.jpg

         23.  http://www.usingmindmaps.com/images/using-mind-maps.gif

         24.  http://www.puzzlemakers.net/logeasy.html

         25.  http://www.puzzles.com/projects/logicproblems.html

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (26)

9.  การตัดข้อมูลที่ไม่เกี่ยวข้องออก

                 ปัญหาบางปัญหาอาจมีข้อมูลทั้งที่จำเป็นและไม่จำเป็น  เราจึงต้องตัดข้อมูลส่วนที่ไม่จำเป็นออกเพื่อที่จะให้เหลือตัวเลือกน้อยลง เพราะการที่จะพยายามใช้ข้อมูลทั้งหมดที่ไม่มีความหมายจะทำให้เสียเวลา

ตัวอย่าง 9.1   จงเติมเลขโดดลงใน (...) เพื่อทำให้การหารต่อไปนี้ถูกต้อง

แนวคิด     จากโจทย์จะเห็นได้ว่ามีตำแหน่งที่ยังไม่ทราบค่าเต็มไปหมด  ดังนั้นในแต่ละตำแหน่งมีโอกาสที่จะเลือกใช้เลขโดดได้ทุกจำนวน  ทำให้มีข้อมูลมากมาย เราต้องพิจารณาตัดข้อมูลที่เป็นไปไม่ได้ออกเพื่อให้เหลือตัวเลือกน้อยลง ดังนี้

                จะสังเกตพบว่ามีอยู่สองครั้งที่ตัวหารทำการหารตัวตั้งไม่ได้  ซึ่งต้องใส่  “ 0 “ ในผลหาร และดึงตัวตั้งลงมาเพิ่มแล้วทำการหารใหม่อีกครั้ง

                ดังนั้นในขณะนี้ ผลหารต้องเป็น   (...) 0 8 0 (...)

               

                ต่อไปพิจารณา บรรทัดที่มีการหารได้ผลเป็น  8

                จะเห็นได้ว่าตัวหารมีสามหลัก คูณกับ  8  แล้วได้ผลคูณสามหลัก  แสดงว่า ตัวหาร ต้องมีค่าน้อยกว่า  125  เพราะว่า  125 x 8  =  1000    และทำให้ทราบว่าหลักหน่วยของผลหารต้องเป็น  “ 9 “  เพราะในการหารครั้งถัดไปผลคูณกับตัวหารได้เป็นจำนวนสี่หลัก

                ดังนั้นในขณะนี้ทราบแล้วว่า  ผลหารต้องเป็น   (...)0809  และตัวหารมีค่าน้อยกว่า  125

                ต่อไปพิจารณาหลักหมื่นของผลหาร  ต้องมีค่ามากกว่า 7  เพราะเมื่อไปคูณกับตัวหารแล้วนำไปลบออกจากตัวตั้งต้องให้เหลือเป็นจำนวนสองหลัก  และต้องไม่ใช่  9  เพราะจะได้ผลคูณเป็นจำนวนสี่หลักไม่ตรงกับโจทย์ซึ่งเป็นจำนวนสามหลัก   ดังนั้น หลักหมื่นของผลหาร  คือ  8     

                ดังนั้นในขณะนี้ ผลหารต้องเป็น   8 0 8 0 9  และตัวหารมีค่าน้อยกว่า  1 2 5

                และเมื่อผลหารเป็น  80809  ตัวหารก็ต้องมากกว่า 123  เพราะว่า  80809 x 123  จะได้ผลคูณเป็นจำนวนเจ็ดหลักไม่ตรงกับโจทย์ซึ่งมีแปดหลัก    ดังนั้น ตัวหาร คือ  124 

                เมื่อใส่จำนวนต่างครบหมดแล้วจะได้การหาร ดังนี้

q