คณิตศาสตร์กับศิลปะ 2 ลูกบาศก์โซมา (1)

เรื่อง  “ ลูกบาศก์โซมา (Soma Cube) “  เรียบเรียงจากแหล่งข้อมูลต่างๆ ดังนี้

1.  Martin Gardner. More Mathematical Puzzles and Diversions.  London : Penguin Books , 1966.

2.  http://en.wikipedia.org/wiki/Piet_Hein_(Denmark)  

3.  http://sci4fun.com/soma_cube/800/somapieces.png

4.  http://sci4fun.com/soma_cube/800/somasolution.png

5.  http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/FIGURES/NOTATION.HTM

6.  http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/NEWS/N991004.HTM

7.  http://www.fam-bundgaard.dk/SOMA/SOMA.HTM

8.  http://www.mathematische-basteleien.de/oricube.htm

ลูกบาศก์โซมา

          ลูกบาศก์โซมา (Soma Cube) เป็นเกมปริศนาประเภทสามมิติคิดค้นขึ้นในปี ค.ศ.1933  โดย Piet Hein ชาวเดนมาร์ก (ค.ศ.1905 – ค.ศ.1996) ซึ่งเป็นทั้งนักวิทยาศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ นักประดิษฐ์ และกวี  เขาคิดประดิษฐ์ลูกบาศก์โซมาขึ้นได้ในระหว่างการร่วมงานบรรยายเกี่ยวกับกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งจัดประชุมโดย Werner Heisenberg (ค.ศ.1901 – ค.ศ.1976) นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน 

          Piet Hein เกิดในโคเปนเฮเกน ประเทศเดนมาร์ก เขาเข้าศึกษาในสถาบันฟิสิกส์เชิงทฤษฎี (Institute for Theoretical Physics   ซึ่งต่อมาเปลี่ยนเป็น Niels Bohr Institute) ของมหาวิทยาลัยโคเปนเฮเกน  และมหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งเดนมาร์ค   ปี ค.ศ.1972 มหาวิทยาลัยเยลมอบปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์ให้กับเขา  Piet Hein เสียชีวิตในบ้านของเขาบนเกาะ Funen  ประเทศเดนมาร์ก เมื่อปี ค.ศ.1996

          Piet Hein  มักจะใช้นามปากกาว่า  Kumbel  ซึ่งมีความหมายว่า  tombstone – แผ่นหินจารึกหน้าหลุมฝังศพ  และบทกวีสั้นๆ ของเขาซึ่งเป็นที่รู้จักกันในชื่อ  gruks หรือ grooks  แรกเริ่มปรากฏในหนังสือพิมพ์รายวัน " Politiken "  หลังการเข้ายึดครองของนาซี ในเดือนเมษายน ค.ศ.1940 ไม่นานนัก  โดยใช้นามแฝง Kumbel Kumbell

          นอกจากงานเขียน gruks นับพันชิ้นแล้ว  Piet Hein ยังมีผลงานการคิดประดิษฐ์เกมอีกมาก เช่น Hex , Tangloids , Morra , Tower , Polytaire , TacTix , Nimbi , Qrazy Qube , Pyramystery และ Soma cube  เป็นต้น  และเมื่อบรรดาเหล่าสถาปนิกชาวสแกนดิเนเวียรู้สึกเบื่อหน่ายกับอาคารทรงสี่เหลี่ยม และรู้ว่าไม่สามารถสร้างอาคารทรงกลมให้ใช้งานจริงได้ พวกเขาจึงขอให้ Piet Hein ช่วยแก้ปัญหา ซึ่ง Piet Hein ได้ประยุกต์ความรู้ทางคณิตศาสตร์อย่างอาจหาญคิดสร้าง superellipse – อภิวงรี  ขึ้น  ซึ่งในเวลาต่อมา  superellipse  ได้กลายเป็นจุดเด่นของสถาปัตยกรรมที่ทันสมัยของสแกนดิเนเวียน  และ Piet Hein ยังเป็นผู้ที่สนับสนุนให้ใช้เส้นโค้ง superellipse ในงานวางแผนเมือง และการออกแบบเฟอร์นิเจอร์อีกด้วย

ที่มาของข้อมูล : http://en.wikipedia.org/wiki/Piet_Hein_(Denmark)

          ลูกบาศก์โซมาประกอบด้วยชิ้นส่วนหลัก  7  ชิ้น ซึ่งแต่ละชิ้นสร้างขึ้นจากรูปทรงพื้นฐานคือลูกบาศก์หน่วย โดยใช้ลูกบาศก์หน่วยทั้งหมด  27  ลูก ทากาวต่อลูกบาศก์หน่วยให้มีลักษณะดังนี้  

ภาพจาก  http://sci4fun.com/soma_cube/800/somapieces.png

          ในที่นี้ขอใช้สี , หมายเลข และชื่อสำหรับลูกบาศก์โซมาแต่ละชิ้น ดังนี้

                   
          กิจกรรมการเล่นเกมปริศนาสามมิติชุดนี้ก็คือการนำลูกบาศก์โซมาทั้ง  7  ชิ้นมาประกอบให้เป็นรูปทรงต่างๆ ตามความคิดสร้างสรรค์ และจินตนาการของผู้เล่น  หรือประกอบให้ได้ตามรูปทรงที่มีการสร้างไว้แล้ว เช่น

ภาพจาก  Martin Gardner. More Mathematical Puzzles and Diversions.  London : Penguin Books , 1966.

คณิตศาสตร์กับศิลปะ 1 ศิลปะของเอสเชอร์ (6)

การสร้างชิ้นงานเทสเซลเลชันตามแนวศิลปะของเอสเชอร์ (3)

     ตัวอย่างผลงานของเอสเชอร์   จากวารสาร  Mathematics Teacher.  December 1976 : p.648

      ตัวอย่างอีก  3  ภาพ จากเว็บไซต์ http://homepage.mac.com/efithian/Geometry/Activity-12.html

“ ศิลปะของเอสเชอร์ “  เรียบเรียงมาจากแหล่งความรู้ต่างๆ  ดังนี้

1.  วินิจ  วงศ์รัตนะ, ผู้ช่วยศาสตราจารย์.  คู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.1-2-3.  กรุงเทพฯ : บริษัท ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง จำกัด. 

2.  Doris Schattschneider and Wallace Walker. M.C.ESCHER KALEIDOCYCLES. New York : Ballantine Books, 1978.

3.  Sheila Haak.  “TRANSFORMATION GEOMETRY AND THE ARTWORK OF M.C. ESCHER.”  Mathematics Teacher. December 1976 : 647 – 652.

4.  http://art.unt.edu/ntieva/pages/about/newsletters/vol_14/no_1/ReflectionLG.jpg

5.  http://en.wikipedia.org/wiki/Regular_Division_of_the_Plane

6.  http://euler.slu.edu/escher/index.php/File:Regular-division-13.jpg

7.  http://homepage.mac.com/efithian/Geometry/Activity-12.html

8.  http://pattama1008.files.wordpress.com/2009/08/clip_image001.jpg?w=470&h=224

9.  http://th.wikipedia.org/wiki/กราฟิกดีไซน์

10.  http://th.wikipedia.org/wiki/เมาริทส์_คอร์เนเลียส_เอสเชอร์

11.  http://th.wikipedia.org/wiki/สมมาตร

12.  http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/session7/part_c/index.html

13.  http://www.mcescher.com

14.  http://www.sahavicha.com/?name=knowledge&file=readknowledge&id=4473

15.  http://www.school.net.th/library/create-web/10000/science/10000-5854.html

16.  http://www3.ipst.ac.th/primary_math/math_curriculum/core_curriculum51.asp

คณิตศาสตร์กับศิลปะ 1 ศิลปะของเอสเชอร์ (5)

การสร้างชิ้นงานเทสเซลเลชันตามแนวศิลปะของเอสเชอร์ (2)

          ต่อไปเราจะลงมือทำงานศิลปะตามแนวทางของเอสเชอร์

อุปกรณ์

     1.  กระดาษขนาด A4

     2.  กระดาษชาร์ทอ่อน และกระดาษชาร์ทแข็ง

     3.  สีเทียน หรือดินสอสี (ในกรณีที่ต้องการตกแต่งเพิ่มเติม)

     4.  กระดาษกาวย่น  กาว  มีดคัทเตอร์หรือกรรไกร  ไม้บรรทัด  ดินสอ  ยางลบ และอาจจะใช้วงเวียนด้วยก็ได้

ขั้นตอนวิธีทำ

          ขั้นแรกต้องออกแบบภาพแผ่นงานของเราก่อนว่าจะใช้รูปหลายเหลี่ยม และการแปลงทางเรขาคณิตชนิดใด  ในตัวอย่างต่อไปนี้จะใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส  ใช้การหมุนและการเลื่อนขนาน

          1.  สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด  9 x 9  ตารางเซนติเมตร บนกระดาษ A4   (สามารถปรับเปลี่ยนขนาดของตัวแบบได้ตามต้องการ)  และตัดออกมา   ในรูปจะกำหนดชื่อจุด และชื่อด้านเพื่อใช้ในการอธิบาย  ซึ่งได้แก่ จุด A , B , C  และด้าน  1 , 2 , 3 , 4

   2.  เราจะออกแบบภาพแผ่นงานก่อน  โดยเริ่มที่การหมุน ใช้จุด B เป็นจุดหมุน และหมุนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามเข็มนาฬิกาไป 90 องศา  โดยให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเดิมยังอยู่ที่เดิม จะได้ผลดังรูป

          หมุนรูปที่ได้ใหม่หนึ่งครั้งโดยใช้จุด B เป็นจุดหมุน และหมุน 90  องศาตามเข็มนาฬิกา  

          และหมุนอีกหนึ่งครั้ง 

          ต่อไปใช้การเลื่อนขนาน ซึ่งจะทำให้เกิดเป็นตารางที่มีลักษณะดังนี้ (โดยปรับการเขียนชื่อด้านและชื่อจุดให้อ่านง่าย)

            ในการสร้างงานศิลปะชุดนี้จะใช้กระบวนการ “ ตัด – ปะ ”  ซึ่งสามารถเลือก ตัด และ ปะ ได้ตามจินตนาการความคิดสร้างสรรค์  โดยยึดหลักสำคัญคือ ไม่ว่ารูปจะเปลี่ยนไปอย่างไร (จากรูปเดิมคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) พื้นที่ต้องเท่าเดิม  ดังนั้นในการ ปะ ต้องระวังไม่ให้เกิดการซ้อนกันโดยใช้กระดาษกาวย่นปิดทับรอยต่อ  และสำหรับการ ตัด เราสามารถ ตัด ส่วนที่ ปะ ไว้ก่อนหน้านี้แล้วและนำไป ปะ ในตำแหน่งอื่นได้เสมอ ภายใต้เงื่อนไข พื้นที่ต้องเท่าเดิม

          จากแผ่นงานที่ออกแบบไว้จะเห็นได้ว่าด้านที่ 1 กับด้านที่ 2  อยู่ติดกันเสมอ  และด้านที่ 3 กับด้านที่ 4 อยู่ติดกันเสมอ   ดังนั้นในการทำตัวแบบจะต้องทำการ “ ตัด – ปะ ” ด้านที่ 1 คู่กับด้านที่ 2   และด้านที่ 3 คู่กับด้านที่ 4   หมายความว่า  ส่วนที่ ตัด ออกจากด้านที่ 2 ต้องนำไป ปะ กับด้านที่ 1    และในทางกลับกันส่วนที่ ตัด ออกจากด้านที่ 1 ก็ต้องนำไป ปะ กับด้านที่ 2   เท่านั้น   เรื่องที่สำคัญอีกประการหนึ่งก็คือจุด A และจุด B  เป็นจุดที่ใช้ร่วมกัน  ดังนั้นตำแหน่งของการ “ ตัด – ปะ ” ต้องวัดระยะให้เท่ากันจากจุดสังเกต คือ  จุด A  หรือ จุด B    

          เราอาจจะเลือกทำงานแบบ “ ตัด ” แล้ว “ ปะ ” ไปเรื่อยๆ  หรือเลือกที่จะออกแบบเอาไว้ก่อนก็ได้ ในตัวอย่างนี้จะออกแบบไว้ก่อน  แล้วจึงลงมือ “ ตัด – ปะ ”  ทำต้นแบบตามที่ได้ออกแบบภาพไว้ดังนี้ 

รูปต้นแบบที่ได้ออกแบบไว้

          ในรูปเป็นการ ” ตัด ” จากด้านที่ 2 แล้วนำไป “ ปะ ” กับด้านที่ 1 และตำแหน่งที่ “ ตัด – ปะ ”ห่างจากจุด A  3 เซนติเมตร      

( อย่าลืมสิ่งสำคัญ คือ การ “ ตัด – ปะ ” ต้องคำนึงถึงความสัมพันธ์ระหว่างด้าน 1  2  หรือ  3  4   และการใช้จุด A หรือจุด B  ร่วมกัน )

           รูปชุดต่อไปนี้แสดงลำดับของการ “ ตัด – ปะ ” ตามที่ได้ออกแบบไว้

              ต่อไปนำรูป (6) ไปวางบนกระดาษชาร์ทแข็ง ใช้ดินสอวาดตามเส้นขอบรูป แล้วตัดออกมา ก็จะได้รูปต้นแบบเป็นดังนี้

          เมื่อได้รูปต้นแบบแล้ว เรามีทางเลือกในการสร้างงานสองทางเลือก คือ

          แบบที่ 1  สร้างตารางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนกระดาษชาร์ท โดยให้ตารางย่อยมีขนาด 9 x 9  ตารางเซนติเมตร  แล้วนำรูปต้นแบบวางลงไปในตารางย่อยใช้ดินสอดำวาดตามเส้นขอบรูปต้นแบบ  วาดเช่นนี้ในทุกตารางย่อยตามที่ได้ออกแบบภาพแผ่นงานไว้  จากนั้นตกแต่งด้วยสีเทียน หรือดินสอสี

          อาจจะออกแบบลวดลายในต้นแบบไว้ก่อน เพื่อใช้เป็นตัวอย่างในการทำภาพแผ่นงาน ดังรูป

       แบบที่ 2  นำรูปต้นแบบไปวางบนกระดาษขาว  หรือกระดาษสี  หรือกระดาษที่มีลวดลาย  ใช้ดินสอวาดตามเส้นขอบรูปต้นแบบ แล้วตัดออกมา ตกแต่งด้วยสีเทียนหรือสีดินสอ และเมื่อได้จำนวนมากเพียงพอกับความต้องการแล้วก็นำไปวางเรียงติดต่อกันบนกระดาษชาร์ท

เรียบเรียงจากข้อมูล  :  Sheila Haak.  “TRANSFORMATION GEOMETRY AND THE ARTWORK OF M.C. ESCHER.”  Mathematics Teacher. December 1976 : 647 – 652.

คณิตศาสตร์กับศิลปะ 1 ศิลปะของเอสเชอร์ (4)

การสร้างชิ้นงานเทสเซลเลชันตามแนวศิลปะของเอสเชอร์ (1)

                    การสร้างตัวแบบสามารถเลือกได้จากรูปหลายเหลี่ยมที่วางเรียงต่อกันไปบนระนาบให้เต็มพื้นที่โดยไม่มีช่องว่าง หรือมีการซ้อนทับกัน เช่น 

ใช้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าวางเรียงต่อกัน

ภาพตัวอย่างจากหนังสือ  M.C. ESCHER  KALEIDOCYCLES

ใช้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสวางเรียงต่อกัน

ภาพตัวอย่างดัดแปลงจากเว็บไซต์  http://euler.slu.edu/escher/index.php/File:Regular-division-13.jpg

ใช้รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าวางเรียงต่อกัน

ภาพตัวอย่างดัดแปลงจากวารสาร  Mathematics Teacher.  December 1976 : p.647

คณิตศาสตร์กับศิลปะ 1 ศิลปะของเอสเชอร์ (3)

เทสเซลเลชัน

          เทสเซลเลชัน (tessellation) เป็นคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ หมายถึง กลุ่มรูปแบนราบ ที่เรียงติดต่อกันโดยไม่เกยกัน หรือมีช่องว่าง  เทสเซลเลชันที่รู้จักกันดีในปัจจุบัน ได้แก่ ภาพพิมพ์ของ เอ็ม.ซี. เอสเชอร์ ( M. C. Escher )   ในการเรียนคณิตศาสตร์นักเรียนต้องการประสบการณ์ที่ทำให้พวกเขาคิดว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่มีประโยชน์ ส่งเสริมความคิดสร้างสรรค์  มีความรู้และสนุกสนานในการเรียน  ไม่ใช่วิชาที่ต้องคำนวณหาคำตอบที่ถูกต้องเพียงอย่างเดียว  กิจกรรมการออกแบบ  “ เทสเซลเลซัน ”  เป็นกิจกรรมที่น่าสนใจ  เหมาะสำหรับเด็กตั้งแต่ประถมศึกษาถึงมัธยมศึกษา  เป็นกิจกรรมที่รวมคณิตศาสตร์กับศิลปะได้อย่างสวยงาม  ในชีวิตประจำวันเราเห็นลวดลายของกระดาษปิดฝาผนังห้องนอน  ห้องน้ำ  หรือลวดลายกระเบื้องที่ปูพื้น  และลวดลายอื่น ๆ  จะมีลายเป็นรูปเหมือนกันที่เติมเต็มพื้นที่ได้อย่างสวยงามน่าอัศจรรย์

        เทสเซลเลชัน  เริ่มต้นด้วยนักศิลปะชาวอิสลามได้สื่อความรู้  ความซาบซึ้ง  ในคณิตศาสตร์ของตนเองในรูปแบบของศิลปะ  ดังตัวอย่าง  ศิลปะ  “ Alhambra ”  เป็นศิลปะที่วาดไว้ใน  Moorish Palace  in  Granada  ประเทศสเปน  ต่อมาใน ค.ศ.1936   นักศิลปะชาวดัทซ์  ชื่อ  M.C. Escher  ได้เดินทางไปเที่ยวประเทศสเปน  เกิดความซาบซึ้งในลักษณะของศิลปะแบบนี้  จึงได้นำมาเผยแพร่จนเป็นที่รู้จักจนถึงปัจจุบัน  และได้เรียกศิลปะแบบ  Alhambra  ว่า  เทสเซลเลชัน ซึ่งเป็น การจัดรูปปิดหลายรูปให้คลุมระนาบ โดยไม่ให้เกิดการเหลื่อมล้ำหรือซ้อนทับกันระหว่างรูปและไม่ให้มีช่องว่างในระนาบเหลืออยู่

( ที่มา : http://www.sahavicha.com/?name=knowledge&file=readknowledge&id=4473 )

ภาพเทสเซลเลชัน 2 ภาพ

ที่มา : http://pattama1008.files.wordpress.com/2009/08/clip_image001.jpg?w=470&h=224

ตัวอย่างผลงานของเอสเชอร์

SYMMETRY NO. 45        ที่มา : http://www.mcescher.com/Biography/e45.jpg

SYMMETRY NO. 20     ที่มา : http://www.mcescher.com/Biography/e20.jpg

ภาพพิมพ์ (woodcut)   ชื่อภาพ  SKY & WATER I

ที่มา : http://www.mcescher.com/Biography/lw306.jpg

SYMMETRY NO. 22      ที่มา : http://www.mcescher.com