ม.3 เตรียมตัวเข้า ม.4 (3)

ม.3 เตรียมตัวเข้า ม.4  (3)

ที่มาของข้อมูล

1.  Stanford University Mathematical Organization – SUMO

( https://sumo.stanford.edu/smt/ )

2.   www.analyzemath.com

21.   ให้  ABCDE  เป็นรูปห้าเหลี่ยมที่ด้านทุกด้าน

   ยาวเท่ากัน และมุมภายในทุกมุมมีขนาดเท่ากัน

   มีจุด F อยู่บนด้าน BC  และจุด G อยู่บนด้าน ED

   โดยที่ AFG เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และ

   ด้าน FG ขนานกับด้าน CD  จงหาขนาดของมุม AFB

ตอบ  .................................  องศา

22.  กำหนดให้ลำดับชุดหนึ่งมี  a₁ = 2  ,  a₂ = 3

   และสำหรับจำนวนเต็ม n > 2   จะได้

   a_n  =  ( a_{n – 1} )( a_{n – 2} )   เช่น  a₃ = 6  ,  a₄ = 18  ,  …

   จงหาค่า  k  ที่มากที่สุดที่ทำให้  3^k  หาร  a₁₁  ลงตัว

ตอบ  .................................

23.  นักบินอวกาศคนหนึ่งกำลังคำนวณเส้นทางเพื่อเดินทาง

   กลับโลก โดยใช้ตารางสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนพื้นที่ในอวกาศ

   เริ่มต้นที่จุด (0,0) เขาจะไปโลกที่จุด (6,6)  และสามารถ

   เคลื่อนที่ได้สองแบบ คือ เดินขึ้นด้านบน หรือเดินไปทางขวา

   แต่มีหลุมดำสองแห่งขนาดหนึ่งตารางหน่วย ซึ่งมีจุดล่างซ้าย

   อยู่ที่ (1,4)  และ (3,1)  ตามลำดับ  ถ้ายานเคลื่อนเข้าไปที่

   จุดมุมจุดใดจุดหนึ่งของหลุมดำ ยานจะถูกดูดเข้าไป และ

   จะไม่สามารถกลับโลกได้

   จงหาจำนวนเส้นทางที่ปลอดภัยที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ตอบ  .................................  เส้นทาง

25.   การแข่งขันของเต่าและกระต่ายครั้งหนึ่ง

   ใช้สนามสามมิติรูปลูกบาศก์ซึ่งมีด้านยาว

   18  เมตร ดังรูป โดยมีจุดเริ่มต้นที่จุด A

   และจุดสิ้นสุดที่จุด B

      เต่าจะใช้เส้นทางเส้นทแยงมุมภายใน

   ( แนว AB ) ด้วยความเร็ว  6  เมตร/นาที

      กระต่ายวิ่งได้เฉพาะบนผิวหน้าของลูกบาศก์ 

   ด้วยความเร็ว  9  เมตร/นาที

     อยากทราบว่าเมื่อกระต่ายมาถึงจุด B 

     ต้องรออีกกี่นาทีเต่าจึงจะเข้าเส้นชัย

ตอบ  .................................  นาที

28.   จงหาจำนวนเต็มบวก  n  ที่มีค่าน้อยที่สุด

   โดยที่  n – 64  เป็นกำลังสามสมบูรณ์ และ

    n  หารด้วย  37 ลงตัว

ตอบ  .................................  หน่วย

29.   จากรูป ให้  R₁ , R₂ และ R₃  เป็นรัศมีของวงกลม

   ที่มี  C₁ , C₂ และ C₃  เป็นจุดศูนย์กลางตามลำดับ

   โดยที่  R₁ = R₂

   วงกลม C₁ และ C₂ สัมผัสกับเส้นตรง L บนข้างเดียวกัน

   วงกลม C₃ สัมผัสกับ วงกลม C₁ และ  C₂   

   ถ้า ส่วนของเส้นตรง  C₁C₂   ยาว  x  หน่วย

   แล้ว ส่วนของเส้นตรง h  ที่ลากจากจุด C₃  ไปตั้งฉาก

   กับเส้นตรง  L   ยาวเท่าใด

   ( ให้ตอบในรูปของ  x  และรัศมีของวงกลม ) 

ตอบ  .................................  หน่วย

30.   จากรูป ด้าน CD ขนานกับด้าน AB

   มุม t  = 90^o  จงหาพื้นที่ของวงกลมในรูปของ x

ตอบ  .................................  ตารางหน่วย

เฉลย

21.   48  องศา

   ผลบวกของมุมภายใน = ( 5 – 2 ) x 180  =  540  องศา

   ดังนั้น มุมภายในแต่ละมุมมีขนาด  108  องศา

    ( 540 หารด้วย 5  =  108  องศา )

   เพราะว่า  ด้าน FG // ด้าน CD 

   จะได้  มุม GFC + มุม FCD  =  180  องศา

   ( ผลบวกของมุมภายในบนข้างเดียวกัน

      ของเส้นตัด เท่ากับ  180  องศา )

   ดังนั้น มุม GFC  =  180 – 108  =  72  องศา

   เพราะว่า AFG เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

   ดังนั้น  มุม AFG  =  60  องศา

   จะได้ว่า  มุม AFB  =  180 – 72 – 60  =  48  องศา

22.   k = 55

   เพราะว่า  a_n  เป็นผลคูณของ  2 ^k  กับ  3^k

     a₁  =  2 ¹  x  3⁰

     a₂  =  2 ⁰  x  3¹

     a₃  =  2 ¹  x  3¹

     a₄  =  2 ¹  x  3²

     a₅  =  2 ²  x  3³

     a₆  =  2 ³  x  3⁵

      …

23.   เส้นทางที่ปลอดภัย  208  เส้นทาง

   การเดินทางจากจุด (A , B) ไปที่จุด (A+M , B+N)

   จะต้องเดินไปทางขวา M ครั้ง และเดินไปด้านบน N ครั้ง

   แนวคิดเบื้องต้น
       สมมุติเดินจาก (0,0) ไป (2,3)

   ต้องเดินไปทางขวา(R) 2 ครั้ง และด้านบน(U) 3 ครั้ง

   รวม 5 ครั้ง  จะแสดงวิธีเลือกเส้นทางด้วยแผนภาพ ดังนี้

   สร้างตารางแผนที่ของนักบินอวกาศได้ดังนี้

   จะพบว่ามี  3  กรณี

   กรณีที่หนึ่ง  ใช้เส้นทางที่อยู่เหนือหลุมดำทั้งสอง

     เขาจะต้องไปที่ (0,6) ก่อน ซึ่งมีวิธีเดินทาง  1  วิธี

     จากนั้นจึงไปที่ (6,6) ซึ่งมี  1  วิธี เช่นกัน

จำนวนเส้นทางของกรณีที่หนึ่ง =  1 x 1  =  1  เส้นทาง

   กรณีที่สอง  ใช้เส้นทางที่อยู่ระหว่างหลุมดำทั้งสอง

     ไปจุด (2,3) ก่อน แล้วไป (3,3) จากนั้นจึงไปที่ (6,6)

     (1)  ทั้ง  x  และ  y  หารด้วย 5 ลงตัว

   เลือก  x  ได้  5  วิธี คือ  5 , 10 , 15 , 20 , 25

   แต่ละวิธีของการเลือก  x  จะเลือก  y  ได้  4  วิธี

    ( เพราะกำหนดให้  x  ไม่เท่ากับ  y )

        จำนวนวิธีของกรณีที่ 1  =  5 x 4  =  20  วิธี  

     (2)   เศษจากการหาร  x  และ  y  ด้วย 5

    เมื่อนำมาบวกกันแล้วต้องหารด้วย  5  ลงตัว

     2.1  หาร  x  ด้วย  5  เหลือเศษ  1 

      เลือก  x  ได้  5  วิธี คือ  1 , 6 , 11 , 16 , 21

      แต่ละวิธีของการเลือก  x  จะต้อง

      เลือก  y  ที่หารด้วย  5  แล้วเหลือเศษ  4

      เลือก  y  ได้  5  วิธี คือ  4 , 9 , 14 , 19 , 24

        จำนวนวิธีของกรณีที่ 2.1  =  5 x 5  =  25  วิธี

   ในทำนองเดียวกัน

     2.2  หาร  x  ด้วย  5  เหลือเศษ  2 

        จำนวนวิธีของกรณีที่ 2.2  =  5 x 5  =  25  วิธี

     2.3  หาร  x  ด้วย  5  เหลือเศษ  3 

        จำนวนวิธีของกรณีที่ 2.3  =  5 x 5  =  25  วิธี

     2.4  หาร  x  ด้วย  5  เหลือเศษ  4 

        จำนวนวิธีของกรณีที่ 2.4  =  5 x 5  =  25  วิธี

  จะได้จำนวนวิธีของกรณีที่ 2  =  25 x 4  =  100  วิธี

    ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมด  =  20 + 100  =  120  วิธี

26.   17  คู่

     จัดสมการใหม่

                     2018b + 2018a  =  ab

               ab – 2018a – 2018b  =  0 

  ab – 2018a – 2018b + (2018)²  =  (2018)² 

               (a – 2018)(b – 2018)  =  (2018)² 

     เพราะว่า  (2018)²  =  (2 x 1009)² =  (2) ² x (1009)²  

     ดังนั้นมีวิธีสร้างตัวประกอบ 2  ตัว  =  3 x 3  =  9  วิธี

     เช่น   2⁰  x  [ (2) ² x (1009)² ]

       หรือ     2¹  x  [ (2) ¹ x (1009)² ]   เป็นต้น

     แต่มีทั้งจำนวนเต็มลบ จำนวนเต็มบวก

     ดังนั้นจำนวนวิธี  =  9 + 9  =  18  วิธี

    เช่น   a – 2018 = 2⁰ = 1  จะได้  a = 2019

      และ  b – 2018 = [ (2)² x (1009)² ]

                 จะได้  b = (2018)² + 2018

                               = (2018)(2018+1)

                               = (2018)(2019)

    แทนค่าใน   (a – 2018)(b – 2018)

          =  (2019 – 2018)([(2018)(2019)] – 2018) 

          =  (1)([(2018)(2019 – 1)]) 

          =  (1)([(2018)(2018)]) 

             =  (2018)²

28.   407

   ให้  k  เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง  n – 64 = k³

   ค่า  n  ที่น้อยที่สุด จะขึ้นอยู่กับ ค่า  k  ที่น้อยที่สุด

     จัดสมการใหม่  n  = k³ + 64

                                = (k + 4)(k² – 4k + 16)

   เพราะว่า  37  เป็นจำนวนเฉพาะ

   ดังนั้น   k + 4  =  37   จะได้  k  =  33

      หรือ      k² – 4k + 16  =  37

                   k² – 4k – 21  =  0

                 (k + 3)(k – 7)  =  0

           จะได้   k = – 3  หรือ    k = 7

   แต่  k  เป็นจำนวนเต็มบวก

   ดังนั้น ค่า  k  ที่น้อยที่สุด คือ k = 7

   จะได้ค่า  n  ที่น้อยที่สุด คือ  n = 7 ³ + 64

                                                = 343 + 64

                                                = 407