ม.3 เตรียมตัวเข้า ม.4 (1)

ม.3 เตรียมตัวเข้า ม.4  (1)

ที่มาของข้อมูล

1.  University of Waterloo , Canada

( https://www.cemc.uwaterloo.ca/contests/past_contests.html )

1.  จากรูป  รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า  ABCD 

   มีพื้นที่  70  ตารางหน่วย จงหาค่า  k

     ก.   8                     ข.   9                    ค.   10     

     ง.   11                    จ.   12  

2.  กำหนดให้  รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  ACB

   มี  AB  =  10  หน่วย และ  AC  =  8  หน่วย

   ถ้า  BC  =  3DC  แล้ว  AD  ยาวกี่หน่วย

3.  จากรูป  ถ้า  TP  ตั้งฉากกับ  RS  แล้ว  x  มีค่าเท่าใด

     ก.   26  องศา         ข.   32  องศา          ค.   37  องศา    

     ง.   38  องศา          จ.   45  องศา 

4.  จากรูป  ด้านที่อยู่ติดกันจะตั้งฉากกัน

   ด้านยาวทั้ง  4  ด้านยาวเท่ากัน

   และ ด้านสั้นทุกด้านยาวเท่ากัน

   ถ้า รูปนี้มีพื้นที่  528  ตารางหน่วย

   แล้ว จะมีเส้นรอบรูปยาวกี่หน่วย

     ก.   72                   ข.   92                    ค.   132    

     ง.   144                  จ.   264

6.  ถ้า  x² y z³  =  7⁴  และ  x y²  =  7⁵ 

   แล้ว  xyz  เท่ากับเท่าใด

     ก.   7                     ข.   7²                    ค.   7³    

     ง.   7⁸                     จ.   7⁹   

7.  จากรูป  จุดแต่ละจุดมีระยะห่างเท่ากัน

   ขนาดของมุม A₁ A₃ A₇  เท่ากับเท่าใด

     ก.   96  องศา           ข.   100  องศา          ค.   104  องศา    

     ง.   108  องศา          จ.   120  องศา     

9.  จากรูป  ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

   BC = 2CD  ,  AF = 6  และ  DEF  ตั้งฉากกับ  AB

   รูปสี่เหลี่ยม  FBCE  มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย

10.  กำหนดจำนวนให้ชุดหนึ่ง ดังนี้

        1  ,  2  ,  3  ,  5  ,  8  ,  13  ,  21  ,  34  ,  55

   จะมีจำนวนเต็มระหว่าง  3  และ  89  กี่จำนวน

   ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลบวกของจำนวนสองจำนวน

    จากจำนวนที่กำหนดให้

     ก.   34                   ข.   43                    ค.   51    

     ง.   55                    จ.   57   

เฉลย

1.   ง.   11

   พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD

    =  กว้าง x ยาว  =  AB x AD

   เพราะว่า  AB = 4 – (– 3) = 7

   และ  AD = k – 1

   จะได้   7 x (k – 1)  =  70

                      k – 1  =  10

                           k   =  11

3.   ข.   32  องศา

   มุม SPA  =  180 – 90 – 26  =   64   องศา

   เพราะว่า  มุม APM  =  มุม TPN  =  x   (เป็นมุมตรงข้าม)

   จะได้   มุม SPA  =  2x  =  64   องศา

   ดังนั้น   x  =  32  องศา

4.   ง.  144 

   แบ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้  33   รูป

   ด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นเส้นรอบรูปมี 36  ด้าน

   ดังนั้น เส้นรอบรูปยาว  =  36 x 4  =  144  หน่วย

5.   ก.   9

6.   ค.   7³

    ( x² y z³ )( x y² )  =  ( 7⁴ )( 7⁵ )

                x³ y³ z³   =   7⁹

                ( xyz )³    =   ( 7³ )³

                       xyz   =   7³       

7.   ง.   108  องศา

     สร้างรูปสามเหลี่ยมดังรูป

   ดังนั้น  มุม A₁O A₃  =  48  องศา

   และ  มุม A₃O A₇  =  96  องศา

   เพราะว่า  O A₁  =  O A₃  =  O A₇   ( รัศมีวงกลม )

   เพราะว่า  b  และ  c  เป็นจำนวนเต็มบวก

   ดังนั้นค่าของ  b  ที่เป็นไปได้คือ  1 , 2  หรือ 3

   ซึ่งทำให้ได้ค่าของ  a  เป็น  11 , 22  หรือ 33

   ถ้า  b = 1  จะมีค่าของ  c  ที่เป็นไปได้ทั้งหมด  27  ค่า

   ถ้า  b = 2  จะมีค่าของ  c  ที่เป็นไปได้ทั้งหมด  14  ค่า

   ถ้า  b = 3  จะมีค่าของ  c  ที่เป็นไปได้ทั้งหมด  1  ค่า

   ดังนั้น จำนวนสามอันดับ (a,b,c) ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

   เท่ากับ  27 + 14 + 1  =  42   

   ให้  BN = x  และ BF = y

   จะได้   6 + y  =  2x     ………. [ 1 ] 

   เพราะว่า มุม FAM = 30  องศา

   จะได้ว่า AMF เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

   แบบ 30 – 60 – 90  องศา ซึ่งมีอัตราส่วนของด้าน

10.   ค.   51

      จาก   1  ,  2  ,  3  ,  5  ,  8  ,  13  ,  21  ,  34  ,  55

   จะได้ว่า  55  บวกกับจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าได้  7  จำนวน

    ( 55 + 34 = 89  ใช้ไม่ได้ )

        34  บวกกับจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าได้  7  จำนวน

        21  บวกกับจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าได้  6  จำนวน

        …

        3  บวกกับจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าได้  2  จำนวน

       ( 2 + 1 = 3  ใช้ไม่ได้ )

  จำนวนที่สร้างได้จากผลบวกของจำนวนที่กำหนดให้

     มีทั้งหมด  7 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2   =  34

    จำนวนทั้งหมดระหว่าง  3  และ  89  มี  85  จำนวน

   ดังนั้น จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลบวก

      ของจำนวนที่กำหนดให้

      มีทั้งหมด  =  85 – 34  =  51  จำนวน