การเริ่มต้น

“ Imagination is more important than knowledge. For

knowledge is limited to all we now know and understand, 

while imagination embraces the entire world, and all there 

ever will be to know and understand. ”

Albert Einstein quotes

กระแสลมแห่งการเปลี่ยนแปลงกำลังเดินทางมา

บางคนสร้างกำแพงแข็งแกร่งเพื่อต้านแรง

แต่บางคนเลือกที่จะสร้างกังหันลม

          วิชาคณิตศาสตร์มีทั้งคนรักและคนชัง แต่อย่างไรก็ตามเด็กทุกคนต้องเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นเราจึงไม่ควรที่จะปล่อยไปตามบุญตามกรรม วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ทุกคนสามารถฝึกฝนได้ ก็ไม่จำเป็นต้องเก่งถึงขั้นไปแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก ขอเพียงแค่เรียนแล้วรู้สึกสนุกก็น่าจะเพียงพอสำหรับคนไม่ค่อยชอบคณิตศาสตร์

ภาพโดย  "ดรีม - ดมิสา"

          เคยเห็นข้อความนี้หรือไม่  " เปลี่ยนความคิด ชีวิตเปลี่ยน "

         

          ลองดูปัญหาธรรมดาปัญหาหนึ่ง

         

         "บ้านให้เช่าหลังหนึ่งปิดประกาศว่าห้ามผู้เช่าพาบุตรเข้ามาอยู่อาศัย"

         

          ต่อมามีครอบครัวธรรมดาครอบครัวหนึ่งประกอบด้วยพ่อ แม่ ลูกชาย และลูกสาว รวม  4  คน มาเช่าบ้านหลังนี้ได้สบายสบาย โดยที่ไม่ได้มีการยกเลิกข้อห้าม  เขาทำได้อย่างไร

ภาพจาก http://variety.teenee.com

         

          "เปลี่ยนความคิด ชีวิตเปลี่ยน"  คำตอบอยู่ที่การเปลี่ยนวิธีคิด  ข้อห้ามก็คือ "ห้ามผู้เช่าพาบุตรเข้ามาอาศัย"  แต่ไม่ได้ห้ามผู้เช่าพาพ่อ แม่ เข้ามาอาศัย  ดังนั้นครอบครัวนี้ก็ให้ลูกเป็นผู้เช่า

          ลองดูอีกหนึ่งปัญหา  " ช่างตัดผมคนหนึ่งจะโกนหนวดให้กับผู้ชายทุกคนที่ไม่โกนหนวดเอง  ถามว่าช่างตัดผมโกนหนวดตัวเองหรือไม่ "

          นี่เป็นข้อความที่มีความขัดแย้งในตัวเองซึ่งเรียกกันว่า พาราด็อกซ์ - paradox  ในความเห็นส่วนตัวคิดว่าพาราด็อกซ์เขามีไว้ให้เรา"สนุกคิด"

          ดังนั้นเราก็ลองใช้วิธี  "เปลี่ยนความคิด ชีวิตเปลี่ยน"

ภาพจาก http://www.vwshowtime.com

          สมัยนี้ช่างตัดผมให้กับผู้ชายไม่จำเป็นต้องเป็นผู้ชาย  คำตอบก็จะได้ว่า ช่างตัดผมไม่โกนหนวดตัวเองถ้าช่างตัดผมของเราเป็นผู้หญิง

          คณิตศาสตร์จะว่ายากก็ยาก แต่ก็ไม่ยากเกินไปสำหรับพื้นฐานทั่วไป ก็ลองเปลี่ยนความคิดดูบางทีชีวิตการเรียนคณิตศาสตร์อาจจะเปลี่ยนเป็นเรียนอย่างมีความสุข สนุก และแน่นอนส่งผลให้ได้คะแนนดี

          เราจะเรียนคณิตศาสตร์อย่างมีความสุข และสนุกกับการเรียน

       

คณิตศาสตร์ในอารมณ์ขัน

“ คณิตศาสตร์ในอารมณ์ขัน ”  เรียบเรียงจากแหล่งความรู้ต่างๆ ดังนี้

1. http://www.sgoc.de/math.html

2. http://www.sonoma.edu/Math/faculty/falbo/jokes.html

3. http://www.mathematicsmagazine.com/corresp/Cartoons.php

 เรื่องที่ 1

     คนงานชุดหนึ่งต้องการวัดความสูงของเสาต้นหนึ่ง โดยพวกเขาพยายามขว้างตลับสายวัดให้ขึ้นไปค้างอยู่บนยอดเสาเพื่อจะได้ดึงสายวัดลงมา แน่นอนเป็นเรื่องที่ทำได้ไม่ง่าย  นักคณิตศาสตร์ท่านหนึ่งเดินผ่านมาพอดีจึงช่วยแก้ปัญหาให้โดยแนะนำว่าให้ถอนเสาลงมาวางกับพื้นซึ่งจะสามารถวัดได้ง่ายมาก เมื่อนักคณิตศาสตร์เดินจากไปแล้ว คนงานคนหนึ่งก็พูดกับเพื่อนๆ ว่า

     “ โธ่เอ๋ย .. นักคณิตศาสตร์ !!   เราต้องการความสูง แต่เขากลับให้เราวัดความยาว “

เรื่องที่ 2

     นักท่องเที่ยวสามคนเดินทางด้วยบอลลูนแบบใช้อากาศร้อนเข้าไปในหุบเขาลึก และเริ่มรู้สึกว่าพวกเขากำลังหลงทาง คนหนึ่งในกลุ่มออกความเห็นว่า

      “ ถ้าพวกเราร้องขอความช่วยเหลือจากตรงนี้ ด้วยลักษณะของหุบเขาก็จะทำให้เกิดเสียงสะท้อนไปได้ไกล “

     ทุกคนเห็นด้วยจึงโน้มตัวออกไปนอกตะกร้า และตะโกนออกไปพร้อมกัน

     “ ฮัลโล .. พวกเราอยู่ที่ไหน “

     พวกเขาได้ยินเสียงสะท้อนของตัวเองดังก้องติดต่อกันลึกเข้าไปในหุบเขาหลายเที่ยว

     อีก  15  นาที ต่อมาพวกเขาก็ได้ยินเสียงสะท้อนกลับมาจากหุบเขา

     “ ฮัลโล .. พวกคุณหลงทาง “

     นักเดินทางคนหนึ่งพูดขึ้นว่า  “ ต้องเป็นเสียงจากนักคณิตศาสตร์แน่นอน “

     เพื่อนๆ อดสงสัยไม่ได้จึงถามว่า “ นายรู้ได้อย่างไร “

     เขาตอบว่า  “ มีเหตุผลสามประการ  ข้อแรกใช้เวลานานกว่าจะตอบ  ข้อสองคำตอบถูกต้องชัดเจน และข้อสามคำตอบใช้ประโยชน์อะไรไม่ได้ “

เรื่องที่ 3

     นักชีววิทยา นักสถิติ และนักคณิตศาสตร์ ร่วมเดินทางไปถ่ายภาพสัตว์ในป่าซาฟารี อาฟริกา  ขณะอยู่บนรถจี๊ปในทุ่งหญ้าสะวันนา และใช้กล่องส่องไกลมองสำรวจไปตามแนวเส้นขอบฟ้า ทันใดนั้นนักชีววิทยาก็พูดขึ้นด้วยความตื่นเต้น

     “ ดูตรงโน้นซิ !!!   มีม้าลายฝูงหนึ่ง และตรงกลางฝูงนั้น มีตัวหนึ่งสีขาวล้วน   ม้าลายเผือก !! เราพบม้าลายสายพันธุ์ใหม่  พวกเราดังแน่ “

     นักสถิติตอบว่า  “ ยังไม่มีนัยสำคัญหรอกนะ เราเพียงแต่รู้ว่ามีม้าลายสีขาวล้วนตัวหนึ่ง “

     นักคณิตศาสตร์พูดว่า  “ จริงๆ แล้ว พวกเราเพียงแต่รู้ว่ามีม้าลายหนึ่งตัวที่ลำตัวด้านหนึ่งมีสีขาวล้วน “

เรื่องที่ 4  ทำไมคนเรียนจบคณิตศาสตร์จึงมักจะหางานทำไม่ได้

     นักคณิตศาสตร์  นักสถิติ และนักบัญชี ผ่านการคัดเลือกรอบแรกในการสมัครเข้าทำงานกับบริษัทแห่งหนึ่ง การตัดสินว่าจะรับใครขึ้นอยู่กับผู้จัดการฝ่ายจัดจ้างพนักงาน ซึ่งในการสัมภาษณ์ทีละคนเขาใช้คำถามเดียวกันกับผู้สมัครทั้งสามว่า  “ 500 บวก 500  ได้เท่าไร “

     คนแรกนักคณิตศาสตร์ซึ่งตอบทันทีที่ฟังคำถามจบโดยไม่ลังเลใจ  “ 1000 ครับ “

     คนต่อไปเป็นนักสถิติ ตอบว่า  “ 1000 ครับ ด้วยความเชื่อมั่น  95 เปอร์เซ็นต์ “

     คนสุดท้ายนักบัญชีตอบว่า  “ ท่านต้องการผลลัพธ์เป็นเท่าไรล่ะครับ “

     นักบัญชีได้งาน

เรื่องที่ 5  และทำไมแม้จะมีงานทำแต่ก็ไม่รวย

     ในการประกวดราคางานก่อสร้างชิ้นหนึ่งกำหนดราคากลางไว้หนึ่งล้านบาท  มีสามคนมาเสนอราคา

     รายที่หนึ่งนักคณิตศาสตร์  “ หกแสนบาทก็เพียงพอแล้ว ”

     รายที่สองนักสถิติ  “ แปดแสนบาท บวกลบร้อยละ 5 “

     รายที่สามคนที่คุณก็รู้ว่าเขาควรจะเป็นใคร  “ หนึ่งล้านแปดแสนบาท “

     ผู้มีอำนาจในการตัดสินพูดว่า  “ อะไรกันคุณ ราคาสูงกว่ารายแรกสามเท่านะครับ “

     คนที่คุณก็รู้ว่าใครตอบว่า  “ ถ้าอย่างนั้นหกแสนบาทเป็นของคุณ หกแสนบาทเป็นของผม  แล้วให้รายแรกรับช่วงงานไปทำ “

เรื่องที่ 6   การเรียนเรื่อง “ เศษส่วน “  อย่างมีความสุข

ภาพจาก  http://www.mathematicsmagazine.com/corresp/Cartoons.php

คณิตศาสตร์กับความรัก (5)

สร้างรูปหัวใจด้วยกราฟ (2)

        

                         และแผนภูมิกระจายที่ได้เป็นดังรูป

          ดังนั้นจากสมการ      

        และ สมการ    

     เมื่อนำมาเขียนกราฟในระบบแกนพิกัดฉากชุดเดียวกัน  จะได้กราฟดังรูป

               สีดำ เป็นกราฟของสมการ  

            

          สีแดง เป็นกราฟของสมการ   

          เราสามารถสร้างกราฟรูปหัวใจได้โดยเพียงบางส่วนจากทั้งสองสมการ  ซึ่งจะมีทั้งหมด  4  แบบ ดังนี้

     จะได้กราฟดังรูป

          จะได้กราฟดังรูป

          จะได้กราฟดังรูป

          จะได้กราฟดังรูป

     แต่เนื่องจากค่าที่ได้มีความละเอียดมาก  ควรใช้เพียงค่าประมาณตามความเหมาะสมของการจัดกิจกรรม      ดังนั้นตารางค่าของ  x  และ  y   ของแต่ละสมการสำหรับให้เด็กๆ ใช้ในการลงจุดเพื่อวาดกราฟควรจะเป็นดังนี้

“ สร้างรูปหัวใจด้วยกราฟ ”   เรียบเรียงจาก  http://www.mathematische-basteleien.de/heart.htm

คณิตศาสตร์กับความรัก (4)

สร้างรูปหัวใจด้วยกราฟ (1)

          ในวิชาคณิตศาสตร์มีการเรียนเรื่องการวาดกราฟของสมการ  ซึ่งกราฟที่ได้ก็จะมีความแตกต่างกันไปตามลักษณะของสมการ  และมีสมการมากมายหลายสมการที่สามารถทำให้เกิดเป็นกราฟรูปหัวใจได้

“ สร้างรูปหัวใจด้วยกราฟ ”   เรียบเรียงจาก  http://www.mathematische-basteleien.de/heart.htm

หัวใจสี่ดวง

          การสร้างกราฟรูปหัวใจในหัวข้อนี้ต้องใช้สองสมการช่วยกัน คือ  สมการ

    และ สมการ 

         เรามาดูสมการแรกกันก่อน สมการ

       คนที่รู้วิธีการพิจารณาสมการก็จะบอกได้ว่ากราฟของสมการนี้เป็นรูปวงรี   แต่สำหรับในกรณีที่เราไม่คุ้นเคยกับสมการ ไม่รู้ว่าจะได้กราฟมีลักษณะอย่างไร ก็จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องลงจุดที่กราฟผ่านอย่างละเอียดหรือมากพอที่จะทำให้เห็นทางเดินของจุด   และถ้าเป็นการจัดกิจกรรมให้กับเด็กๆ ควรต้องทำกระดาษกราฟให้มีขนาดใหญ่ เช่น ใช้กระดาษขนาด A4  หลายๆ แผ่นทากาวต่อกันให้เป็นแผ่นใหญ่  หรือใช้กระดาษชาร์ท   แล้วสร้างระบบแกนพิกัดฉากให้มีความละเอียดอย่างน้อยต้องแบ่ง  1  หน่วย ออกเป็น  10  ช่องย่อยได้  เพื่อให้เด็กๆ ได้เห็นแนวเส้นกราฟได้ถูกต้องและชัดเจนมากที่สุด

          เราสามารถตรวจสอบกราฟของสมการได้ก่อนโดยใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ทางคณิตศาสตร์  แต่โปรแกรมเหล่านี้ไม่ได้มีใช้กันแพร่หลายมากนัก  ดังนั้นขอแนะนำให้ใช้โปรแกรมพื้นฐานโปรแกรมหนึ่งซึ่งสามารถวาดกราฟของสมการให้เห็นได้ค่อนข้างดี นั่นก็คือ  โปรแกรมตารางคำนวณ  ซึ่งส่วนใหญ่ก็มักจะใช้โปรแกรม  Microsoft  Office  Excel  หรือเรียกกันโดยทั่วไปว่า “ เอ็กเซล “

          ขั้นแรกเราต้องปรับการเขียนสมการใหม่เพื่อให้เอ็กเซลสามารถรับข้อมูลเข้าไปประมวลผลได้  ดังนี้

         จากสมการ              

        จัดสมการใหม่ดังนี้            

          และใช้ความรู้เกี่ยวกับการแก้สมการที่กล่าวว่า

     ดังนั้นจะได้สมการ คือ

         การวาดกราฟของสมการ 

    

จะต้องหาจุด ( x , y )  ที่กราฟผ่าน โดยกำหนดค่าของ  x   แล้วหาค่าของ  y    และจากสมการ  จะเห็นได้ว่าส่วนที่กำหนดขอบเขตค่าของ  x  คือ

    

เพราะเราทราบว่าในระบบจำนวนจริงค่าของจำนวนที่อยู่ภายใต้รากที่สองจะต้องไม่น้อยกว่าศูนย์ กล่าวคือ เป็นจำนวนที่เป็นบวกหรือเป็นศูนย์ได้ แต่เป็นจำนวนที่เป็นลบไม่ได้

     ดังนั้น การหาขอบเขตค่าของ  x   เราจะพิจารณาว่า   1 – x²    ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

    พิจารณาหาขอบเขตค่าของ  x  โดยการตรวจสอบหาช่วงของผลคูณ  (x–1)(x+1)    ที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์

          จะได้ว่า  ค่าของ  x  ที่อยู่ระหว่าง  –1  และ  1   จะทำให้  (x–1)(x+1)  มีค่าน้อยกว่าศูนย์

          ดังนั้นค่าของ  x   ที่จะนำมาใช้คือค่าของ x  ที่มากกว่าหรือเท่ากับ  –1   แต่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1

          ซึ่งเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ดังนี้   

           นำสมการ 

   และช่วงค่าของ  x  ที่ได้ไปสร้างสูตรคำนวณในเอ็กเซล  และจัดเตรียมข้อมูลให้เอ็กเซลประมวลผล

     เนื่องจากช่วงค่าของ  x  ค่อนข้างแคบ และเราต้องการความละเอียดของกราฟให้มากที่สุด ดังนั้นการกำหนดค่า  x  ควรใช้เป็นทศนิยมอย่างน้อยสองตำแหน่ง  ซึ่งในตัวอย่างนี้จะใช้ค่า x   ตั้งแต่  –1   และเพิ่มครั้งละ  0.05 ไปจนถึง  1

     นั่นคือจะแทนค่า  x  ด้วย  –1 ,  –0.95 , –0.90 ,  . . .  , 0.85 , 0.90 , 0.95 , 1

 จาก  y   ค่าที่หนึ่ง

            

     นำค่าของ  x   ไปใช้เป็นข้อมูลในเอ็กเซล  ใส่ค่า x   ในคอลัมน์  A

     ในเซลล์หรือในช่อง  B2  พิมพ์สูตรโดยอ้างอิงค่าจากเซลล์  A2  ดังนี้ 

 =A2+SQRT(1-(A2*A2))

     แล้วทำการคัดลอกสูตรจากเซลล์  B2   ลงมาจนถึงเซลล์  B42

ซึ่งเป็นบรรทัดที่  x   มีค่าเท่ากับ 1

  


     และ จาก  y   ค่าที่สอง    

       ในช่อง C2  พิมพ์สูตรโดยอ้างอิงค่าจากช่อง A2  ดังนี้

          =A2-SQRT(1-(A2*A2))

      แล้วทำการคัดลอกสูตรจากเซลล์  C2   ลงมาจนถึงเซลล์  C42   ซึ่งเป็นบรรทัดที่  x   มีค่าเท่ากับ 1

     เมื่อได้ค่าของ  y  ครบทั้งสองค่าแล้ว  ให้เลือกพื้นที่ทำงานครอบคลุมตั้งแต่เซลล์  A2  ,  B2  และ  C2   ลงมาจนถึงเซลล์   A42  ,  B42  และ  C42   จากนั้นเลือกเมนู “ แทรก “  แล้วเลือก  “ กระจาย “  เพื่อแทรกแผนภูมิกระจาย  ซึ่งผลที่ได้จะเป็นดังรูป

       ชุดข้อมูล 1   ก็คือค่าจาก  y   ค่าที่หนึ่ง

      และ   ชุดข้อมูล 2   ก็คือค่าจาก  y   ค่าที่สอง