คณิตศาสตร์กับความรัก (4)

สร้างรูปหัวใจด้วยกราฟ (1)

          ในวิชาคณิตศาสตร์มีการเรียนเรื่องการวาดกราฟของสมการ  ซึ่งกราฟที่ได้ก็จะมีความแตกต่างกันไปตามลักษณะของสมการ  และมีสมการมากมายหลายสมการที่สามารถทำให้เกิดเป็นกราฟรูปหัวใจได้

“ สร้างรูปหัวใจด้วยกราฟ ”   เรียบเรียงจาก  http://www.mathematische-basteleien.de/heart.htm

หัวใจสี่ดวง

          การสร้างกราฟรูปหัวใจในหัวข้อนี้ต้องใช้สองสมการช่วยกัน คือ  สมการ

    และ สมการ 

         เรามาดูสมการแรกกันก่อน สมการ

       คนที่รู้วิธีการพิจารณาสมการก็จะบอกได้ว่ากราฟของสมการนี้เป็นรูปวงรี   แต่สำหรับในกรณีที่เราไม่คุ้นเคยกับสมการ ไม่รู้ว่าจะได้กราฟมีลักษณะอย่างไร ก็จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องลงจุดที่กราฟผ่านอย่างละเอียดหรือมากพอที่จะทำให้เห็นทางเดินของจุด   และถ้าเป็นการจัดกิจกรรมให้กับเด็กๆ ควรต้องทำกระดาษกราฟให้มีขนาดใหญ่ เช่น ใช้กระดาษขนาด A4  หลายๆ แผ่นทากาวต่อกันให้เป็นแผ่นใหญ่  หรือใช้กระดาษชาร์ท   แล้วสร้างระบบแกนพิกัดฉากให้มีความละเอียดอย่างน้อยต้องแบ่ง  1  หน่วย ออกเป็น  10  ช่องย่อยได้  เพื่อให้เด็กๆ ได้เห็นแนวเส้นกราฟได้ถูกต้องและชัดเจนมากที่สุด

          เราสามารถตรวจสอบกราฟของสมการได้ก่อนโดยใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ทางคณิตศาสตร์  แต่โปรแกรมเหล่านี้ไม่ได้มีใช้กันแพร่หลายมากนัก  ดังนั้นขอแนะนำให้ใช้โปรแกรมพื้นฐานโปรแกรมหนึ่งซึ่งสามารถวาดกราฟของสมการให้เห็นได้ค่อนข้างดี นั่นก็คือ  โปรแกรมตารางคำนวณ  ซึ่งส่วนใหญ่ก็มักจะใช้โปรแกรม  Microsoft  Office  Excel  หรือเรียกกันโดยทั่วไปว่า “ เอ็กเซล “

          ขั้นแรกเราต้องปรับการเขียนสมการใหม่เพื่อให้เอ็กเซลสามารถรับข้อมูลเข้าไปประมวลผลได้  ดังนี้

         จากสมการ              

        จัดสมการใหม่ดังนี้            

          และใช้ความรู้เกี่ยวกับการแก้สมการที่กล่าวว่า

     ดังนั้นจะได้สมการ คือ

         การวาดกราฟของสมการ 

    

จะต้องหาจุด ( x , y )  ที่กราฟผ่าน โดยกำหนดค่าของ  x   แล้วหาค่าของ  y    และจากสมการ  จะเห็นได้ว่าส่วนที่กำหนดขอบเขตค่าของ  x  คือ

    

เพราะเราทราบว่าในระบบจำนวนจริงค่าของจำนวนที่อยู่ภายใต้รากที่สองจะต้องไม่น้อยกว่าศูนย์ กล่าวคือ เป็นจำนวนที่เป็นบวกหรือเป็นศูนย์ได้ แต่เป็นจำนวนที่เป็นลบไม่ได้

     ดังนั้น การหาขอบเขตค่าของ  x   เราจะพิจารณาว่า   1 – x²    ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

    พิจารณาหาขอบเขตค่าของ  x  โดยการตรวจสอบหาช่วงของผลคูณ  (x–1)(x+1)    ที่มีค่าน้อยกว่าศูนย์

          จะได้ว่า  ค่าของ  x  ที่อยู่ระหว่าง  –1  และ  1   จะทำให้  (x–1)(x+1)  มีค่าน้อยกว่าศูนย์

          ดังนั้นค่าของ  x   ที่จะนำมาใช้คือค่าของ x  ที่มากกว่าหรือเท่ากับ  –1   แต่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1

          ซึ่งเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ดังนี้   

           นำสมการ 

   และช่วงค่าของ  x  ที่ได้ไปสร้างสูตรคำนวณในเอ็กเซล  และจัดเตรียมข้อมูลให้เอ็กเซลประมวลผล

     เนื่องจากช่วงค่าของ  x  ค่อนข้างแคบ และเราต้องการความละเอียดของกราฟให้มากที่สุด ดังนั้นการกำหนดค่า  x  ควรใช้เป็นทศนิยมอย่างน้อยสองตำแหน่ง  ซึ่งในตัวอย่างนี้จะใช้ค่า x   ตั้งแต่  –1   และเพิ่มครั้งละ  0.05 ไปจนถึง  1

     นั่นคือจะแทนค่า  x  ด้วย  –1 ,  –0.95 , –0.90 ,  . . .  , 0.85 , 0.90 , 0.95 , 1

 จาก  y   ค่าที่หนึ่ง

            

     นำค่าของ  x   ไปใช้เป็นข้อมูลในเอ็กเซล  ใส่ค่า x   ในคอลัมน์  A

     ในเซลล์หรือในช่อง  B2  พิมพ์สูตรโดยอ้างอิงค่าจากเซลล์  A2  ดังนี้ 

 =A2+SQRT(1-(A2*A2))

     แล้วทำการคัดลอกสูตรจากเซลล์  B2   ลงมาจนถึงเซลล์  B42

ซึ่งเป็นบรรทัดที่  x   มีค่าเท่ากับ 1

  


     และ จาก  y   ค่าที่สอง    

       ในช่อง C2  พิมพ์สูตรโดยอ้างอิงค่าจากช่อง A2  ดังนี้

          =A2-SQRT(1-(A2*A2))

      แล้วทำการคัดลอกสูตรจากเซลล์  C2   ลงมาจนถึงเซลล์  C42   ซึ่งเป็นบรรทัดที่  x   มีค่าเท่ากับ 1

     เมื่อได้ค่าของ  y  ครบทั้งสองค่าแล้ว  ให้เลือกพื้นที่ทำงานครอบคลุมตั้งแต่เซลล์  A2  ,  B2  และ  C2   ลงมาจนถึงเซลล์   A42  ,  B42  และ  C42   จากนั้นเลือกเมนู “ แทรก “  แล้วเลือก  “ กระจาย “  เพื่อแทรกแผนภูมิกระจาย  ซึ่งผลที่ได้จะเป็นดังรูป

       ชุดข้อมูล 1   ก็คือค่าจาก  y   ค่าที่หนึ่ง

      และ   ชุดข้อมูล 2   ก็คือค่าจาก  y   ค่าที่สอง