ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (57)

แบบฝึกทักษะ (30)

30.   รูปที่กำหนดให้เป็นกระดาษต้นแบบซึ่งเมื่อตัดและพับแล้วจะได้ลูกบาศก์ที่มีหมายเลขกำกับทั้งหกหน้า

                จงพิจารณารูปลูกบาศก์ต่อไปนี้ว่าหน้าที่มีเครื่องหมายคำถาม ( ? ) จะมีหมายเลขใดกำกับอยู่

ข้อ 30  ตอบ      รูปที่ 1    ?  คือ  1

                          รูปที่ 2    ?  คือ  4

                          รูปที่ 3    ?  คือ  2

แนวคิด    วิธีที่ง่ายและตรงไปตรงมาก็คือ ตัดกระดาษตามแบบ แล้วพับเป็นลูกบาศก์

               เมื่อจัดวางตามรูปโจทย์ก็จะได้คำตอบ

               แต่ควรฝึกสร้างภาพสามมิติในความคิด และหมุนภาพให้ได้  ดังนี้

              เมื่อพับเป็นลูกบาศก์แล้ว  6  จะอยู่ตรงข้ามกับ  1

               5  อยู่ตรงข้ามกับ  4     และ   3  อยู่ตรงข้ามกับ  2

     พิจารณาตำแหน่งของหน้าต่างๆ  โดยใช้ลักษณะการเขียนเลขเป็นหลัก เช่น

               ด้านขวาของ  1  จะเป็น  3  

               ด้านซ้ายของ  1  จะเป็น  2  

               ด้านบนของ  1  จะเป็น  5  

               ด้านล่างของ  1  จะเป็น  4  

q

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (56)

แบบฝึกทักษะ (29)

29.  มาลีไปเที่ยวต่างประเทศและเก็บเอาเงินเหรียญใช้อยู่ในประเทศนั้นมาเป็นของที่ระลึก  เธอเก็บไว้  6  เหรียญ มีราคารวม  67  เซนต์  ถ้าในประเทศนั้นมีเงินเหรียญใช้อยู่  4  ชนิดราคา คือ  1 เซนต์   5 เซนต์   10 เซนต์  และ 25 เซนต์  มาลีเก็บสะสมเงินเหรียญราคาใดบ้าง และจำนวนกี่เหรียญ

ข้อ 29  ตอบ    เหรียญ     1 เซนต์      2  เหรียญ      มีมูลค่า    2  เซนต์

                    เหรียญ     5 เซนต์      1  เหรียญ      มีมูลค่า    5  เซนต์ 

                    เหรียญ   10 เซนต์      1  เหรียญ      มีมูลค่า  10  เซนต์ 

                    เหรียญ   25 เซนต์      2  เหรียญ      มีมูลค่า  50  เซนต์ 

แนวคิด      จะเห็นได้ว่าเหรียญ  25  เซนต์ มีได้ไม่เกิน  2  เหรียญ  ( เพราะถ้ามี  3  เหรียญ จะมีค่า  75  เซนต์ )

       กรณีที่ 1    ถ้ามีเหรียญ 25 เซนต์  จำนวน  1  เหรียญ  

                               อาจจะมีเหรียญ 10 เซนต์ ได้มากถึง  4  เหรียญ

                               ... 

       กรณีที่ 2    ถ้ามีเหรียญ 25 เซนต์  จำนวน  2  เหรียญ  

                               จะมีเหรียญ 10 เซนต์ ได้เพียง  1  เหรียญ

                               ...

      ในแต่ละกรณีพิจารณาทุกแบบที่เป็นไปได้ คือ ต้องมี  6  เหรียญ จากนั้นเลือกแบบที่มีราคารวม 67  เซนต์

      ซึ่งอาจใช้ตารางช่วยให้พิจารณาได้ง่ายขึ้น ดังนี้

q

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (55)

แบบฝึกทักษะ (28)

28.   กำหนดชุดของจำนวน   2 , 5 , 11 , 23 , ...   จงหาจำนวนที่อยู่ถัดไปอีกสามจำนวน

ข้อ 28   ตอบ       47  ,  95  ,  191

แนวคิด           จะพบว่า      2   ,   5   ,   11   ,   23      มีผลต่างระหว่างจำนวนที่อยู่ติดกันเป็นดังนี้

                          2          5          11          23

     ผลต่าง               3           6           12               

   จะเห็นได้ว่าผลต่างที่ได้ถัดไปจะเป็นสองเท่าของผลต่างก่อนหน้า

   ดังนั้น ชุดของผลต่าง คือ   3  ,  6  ,  12  ,  24  ,  48  ,  96  ,  …   นำไปใช้สร้างจำนวนต่อจากที่โจทย์กำหนด

 

     ผลต่าง               3        6        12        24        48        96

ชุดของจำนวน    2        5       11        23        47        95        191

ดังนั้น  จำนวนอีกสามจำนวนถัดไป คือ  47 ,  95   และ  191

q

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (54)

แบบฝึกทักษะ (27)

27.  จงหาจำนวนนับสองจำนวนซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

   (1)  เป็นจำนวนที่มีสามหลัก

   (2)  เลขโดดทั้งสามต่างเป็นจำนวนคี่และไม่ซ้ำกัน

   (3)  ผลบวกของเลขโดดทั้งสามเท่ากับ  13  

   (4)  ผลคูณของเลขโดดทั้งสามมีค่ามากกว่า  30  

   (5)  ผลบวกของเลขโดดในหลักร้อยกับหลักสิบมีค่าน้อยกว่าเลขโดดในหลักหน่วย

ข้อ 27  ตอบ   157   กับ   517

แนวคิด    จาก (1) และ (2) ทำให้ทราบว่า เราต้องการตัวเลข  3  ตัว และไม่ซ้ำกัน จากตัวเลข  5  ตัว คือ  1 , 3 , 5 , 7 , 9

จาก (3)  จะได้ว่า เลขโดดสามตัวที่มีผลบวกเท่ากับ  13  คือ   1+3+9   และ   1+5+7     

จาก (4)   ชุด 1+3+9   จะมีผลคูณ   1 x 3 x 9  =  27   

           และ ชุด  1+5+7   จะมีผลคูณ  1 x 5 x 7  =  35

ดังนั้นเลือกชุด  1+5+7  ซึ่งสามารถสลับที่กันเองได้เป็นจำนวนต่างๆ กัน ดังนี้

  157  ,  175  ,  517  ,  571  ,  715   และ   751

และจาก (5)  " ผลบวกของเลขโดดในหลักร้อยกับหลักสิบมีค่าน้อยกว่าเลขโดดในหลักหน่วย"    

   

           จะได้ว่าจำนวนที่ต้องการคือ  157  และ  517

q

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (53)

แบบฝึกทักษะ (26)

26.  จงหาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งมีค่ามากกว่า  40  แต่น้อยกว่า  70   โดยที่ถ้าหารจำนวนนี้ด้วย  5  จะเหลือเศษ  1    ถ้าหารด้วย  4  จะเหลือเศษ  1   และถ้าหารด้วย  3  ก็จะเหลือเศษ  1  เช่นเดียวกัน

ข้อ 26  ตอบ    61

แนวคิด     จำนวนเต็มบวกที่หารด้วย  5  ,  4  และ  3  ลงตัว จำนวนแรก คือ   5 x 4 x 3  =  60  

                และจำนวนต่อๆ ไป คือ  120  ,  180  ,  240  ,  ...

             ดังนั้น  จำนวนเต็มบวกที่หารด้วย  5  ,  4  และ  3  แล้วเหลือเศษ  1   คือ   61  ,  121  ,  181  ,  ...

             แต่จำนวนที่ต้องการมีค่าอยู่ระหว่าง  40  กับ  70

             จะได้ว่า  จำนวนนั้น คือ  61

q

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ (52)

แบบฝึกทักษะ (25)

25.  กระดาษแผ่นเล็กๆ 12 ชิ้น เขียนหมายเลขกำกับชิ้นละหนึ่งหมายเลข ตั้งแต่  1  ถึง  12   นำกระดาษใส่กล่อง แล้วสุ่มหยิบขึ้นมาหกชุด ชุดละสองแผ่น  พบว่าผลบวกหมายเลขของแต่ละชุดเป็นดังนี้  4  ,  6  ,  13  ,  14  ,  20  และ  21   จงหาว่าในแต่ละชุดมีกระดาษหมายเลขใด

ข้อ 25   ตอบ   ชุดที่มีผลบวกเท่ากับ   4  คือกระดาษหมายเลข   1  และ 3

                    ชุดที่มีผลบวกเท่ากับ   6  คือกระดาษหมายเลข   2  และ 4

                    ชุดที่มีผลบวกเท่ากับ  13  คือกระดาษหมายเลข   6  และ 7

                    ชุดที่มีผลบวกเท่ากับ  14  คือกระดาษหมายเลข   5  และ 9

                    ชุดที่มีผลบวกเท่ากับ  20  คือกระดาษหมายเลข   8  และ 12

                    ชุดที่มีผลบวกเท่ากับ  21  คือกระดาษหมายเลข  10  และ 11

แนวคิด        สร้างผลบวกที่เป็นไปได้ทั้งหมดของแต่ละชุด แล้วพิจารณาตัดชุดที่มีข้อขัดแย้งออกไป  ดังนี้

  

จะเห็นได้ว่า ผลบวก 4  มีชุดเดียวคือ 3 + 1

ดังนั้นผลบวก 6  ต้องใช้ชุด 4 + 2   เพราะกระดาษหมายเลข 1 ใช้สำหรับผลบวก  4  เท่านั้น

ตอนนี้กระดาษหมายเลขใช้ไปแล้ว  4  แผ่น คือ 1 , 2 , 3  และ 4 

หมายความว่าผลบวกชุดอื่นๆ จะไม่สามารถใช้กระดาษหมายเลข 1 , 2 , 3  และ 4  ได้อีก

ต่อไปพิจารณาผลบวก 13  ซึ่งมีให้เลือก  2  ชุด คือ  8 + 5  และ  7 + 6 

ผลบวก 14   ก็มี  2  ชุดให้เลือก คือ  9 + 5  และ  8 + 6

พบว่าผลบวก 13  จะเลือกชุด 8 + 5  ไม่ได้ เพราะจะทำให้ ผลบวก 14  ไม่เหลือชุดให้เลือก

ดังนั้น ผลบวก 13  ใช้ชุด  7 + 6     และ ผลบวก 14  ใช้ชุด  9 + 5

ซึ่งมีผลทำให้ผลบวก 20  ต้องใช้ชุด 12 + 8

และผลบวก 21  ใช้ชุด 11 + 10

q