ม.3 เตรียมตัวเข้า ม.4 (2)

ม.3 เตรียมตัวเข้า ม.4  (2)

ที่มาของข้อมูล

1.  University of Waterloo , Canada

(https://www.cemc.uwaterloo.ca/contests/past_contests.html)

2.  Stanford University Mathematical Organization – SUMO

( https://sumo.stanford.edu/smt/ )

11.  Convex Polygon คือ รูปหลายเหลี่ยมที่มี

   มุมภายในทุกมุมมีขนาดน้อยกว่า 180  องศา

   ถ้า Convex Polygon รูปหนึ่งมีมุมภายในห้ามุม

   เป็นมุมป้าน แล้ว จำนวนด้านมากที่สุดที่เป็นไปได้

   ของรูปหลายเหลี่ยมนี้เท่ากับเท่าใด

     ก.   7                    ข.   8                    ค.   9    

     ง.   10                    จ.   11  

13.  สมชายเขียนโจทย์ปัญหาได้  6  ข้อ ต่อ หนึ่งชั่วโมง

   และสมหญิงแก้โจทย์ปัญหาได้  10  ข้อ ต่อ หนึ่งชั่วโมง

   ถ้า สมชายเขียนโจทย์ปัญหาไปได้  2  ชั่วโมง  สมหญิงจึง

   เริ่มต้นแก้โจทย์ปัญหา แล้ว สมหญิงจะแก้โจทย์ปัญหาได้

   ทั้งหมดกี่ข้อ จึงจะทันกับที่สมชายเขียน

ตอบ  .................................  ข้อ

14.  หนองน้ำแห่งหนึ่งมีเป็ด  1000  ตัว เข้าไปหาอาหาร

   เป็ดเหล่านี้มีขนเป็นสีแดงหรือสีน้ำเงิน และหัวเป็นสีแดง

   หรือสีน้ำเงิน  ถ้า มีเป็ดขนสีแดง 538  ตัว  เป็ดหัวสีน้ำเงิน

   318  ตัว และเป็ดที่มีทั้งขนและหัวเป็นสีน้ำเงิน  250  ตัว

   แล้ว เป็ดที่มีทั้งขนและหัวเป็นสีแดงมีกี่ตัว

ตอบ  .................................  ตัว

17.  เส้นตรงเส้นหนึ่งผ่านจุด  ( – 2 , 1 )  และ  ( 4 , 4 )   

   ถ้า จุด  ( 7 , y )  อยู่บนเส้นตรงเส้นนี้ แล้ว  y  มีค่าเท่าใด 

ตอบ  ................................. 

18.   เดชามีรูปทรงเรขาคณิตสามมิติชนิดหนึ่งมี  9  หน้า

   และแต่ละหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดเท่ากัน

   มีหมายเลข  1 – 9  กำกับไว้  หน้าละหนึ่งหมายเลข

   สมหมายก็มีแบบเดียวกันแต่มี  11  หน้า

   ทั้งสองคนผลัดกันโยนคนละครั้งและดูแต้มบนหน้าที่หงาย

   ถ้า แต้มของเดชามากกว่าหรือเท่ากับแต้มของสมหมาย

   แล้ว เดชาเป็นผู้ชนะ  จงหาความน่าจะเป็นที่เดชาจะชนะ

ตอบ  ................................. 

19.  นพพรเขียนจำนวนเต็มบวก  2018  จำนวนแรก

   ตามลำดับ  ดังนี้    1 , 2 , 3 , 4 , … , 2018   จากนั้น

   เขาทำเครื่องหมาย  X  ทับจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่

   ในรูป  2ⁿ  และ  2ⁿ+1   โดยที่  n  เป็นจำนวนเต็มที่

   มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์  เมื่อเขาทำเสร็จแล้วจะมี

   จำนวนที่ไม่มี  X  เขียนทับทั้งหมดกี่จำนวน 

ตอบ  .................................  จำนวน

20.  ลำดับ  2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 , …  

   เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวกที่ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

   พจน์ที่  2018  ของลำดับนี้มีค่าเท่าใด

ตอบ  .................................

เฉลย

11.   ข.   8

     เพราะว่ามุมภายใน  5  มุม เป็นมุมป้าน

   แสดงว่ามีมุมภายนอก  5  มุม เป็นมุมแหลม

   และมุมภายนอกที่เหลือทั้งหมดเป็นมุมป้าน

   ดังนั้น เราจะหาว่ามุมภายนอกที่เป็นมุมป้าน

   มีได้มากที่สุดกี่มุม

   เพราะว่า ผลรวมของมุมภายนอกทั้งหมดของ

   รูปหลายเหลี่ยมจะต้องเท่ากับ 360  องศา

   สมมุติให้  มุมภายนอกที่เป็นมุมแหลมทั้ง  5  มุม

   มีผลบวกรวมกันน้อยกว่า  90  องศา

   และเพราะว่า  360 – 90  =  270 

   ดังนั้น มีมุมภายนอกที่เป็นมุมป้านได้มากที่สุด  3  มุม

   และจะได้จำนวนด้านที่มากที่สุด  =  5 + 3  =  8   ด้าน

13.   สมหญิงทำโจทย์ปัญหาได้ 30  ข้อ

     เวลา  2  ชั่วโมง สมชายจะเขียนโจทย์ได้  12  ข้อ

  ให้  y  เป็นจำนวนชั่วโมงที่สมหญิงแก้โจทย์ได้ทันสมชาย

   จะได้ว่า สมชายเขียนโจทย์ได้  =  12 + 6y  ข้อ

   และสมหญิงแก้โจทย์ได้  =  10y  ข้อ

   เพราะว่าทำทันกัน  จะได้   10y  =  12 + 6y

                                              y  =   3

    ดังนั้น  สมหญิงแก้โจทย์ได้  =  10 x 3  =  30  ข้อ

14.    เป็ดที่มีขนและหัวเป็นสีแดง มี  470  ตัว

     เพราะว่าเป็ดหัวสีน้ำเงิน  318  ตัว

   และ ขนและหัวสีน้ำเงิน  250   ตัว

   ดังนั้น มีเป็ดหัวสีน้ำเงินขนสีแดง  =  318 – 250  =  68  ตัว

   เพราะว่าเป็ดขนสีแดง  538  ตัว

     ซึ่งจะรวมไว้ทั้งเป็ดหัวสีแดงและหัวสีน้ำเงิน 

   ดังนั้น มีเป็ดหัวสีแดงขนสีแดง  =  538 – 68  =  470  ตัว

19.     1997  จำนวน

     จำนวนที่อยู่ในรูป  2ⁿ  และ  2ⁿ+1 

   เฉพาะจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า  2018  ได้แก่

      2⁰ , 2¹ , 2², … , 2¹⁰    รวม  11  จำนวน

   และ    2⁰+1 , 2¹+1 , 2²+1 , … , 2¹⁰+1   รวม  11  จำนวน

   แต่   2¹  =  2⁰+1   ( คือ มีการนับซ้ำ )

    ดังนั้น  จำนวนที่ไม่มีเครื่องหมาย  X  เขียนทับ

    มีทั้งหมด  =  2018 – 21  =  1997   จำนวน

20.   พจน์ที่ 2018  เท่ากับ  2063

   เพราะว่า  44²  =  1936  และ  45²  =  2025

   ดังนั้น  ลำดับ  2 , 3 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10 , … , 2018 

   จะมี  =  2018 – 44  =  1974  พจน์

   ดังนั้น ในการหาพจน์ที่  2018  ก็จะต้องนับต่อจาก

   2018  ไปอีก  44  จำนวน  คือ  2062

   แต่เพราะว่า  45²  =  2025  จะถูกตัดออก

   ดังนั้นพจน์ที่  2018  ของลำดับนี้ คือ  2063