คณิตศาสตร์กับมายากล (2)

“ รหัสลับสลับเลข “

     มายากลชุดนี้มีต้นแบบมาจากรายการโทรทัศน์ที่มีชื่อภาษาไทยว่า  “ฉลาดสุดๆ”  ทางช่อง 9 อสมท. คืนวันพฤหัสบดี  แต่นานมากแล้ว จำวันที่ออกอากาศไม่ได้    โดยจะใช้การคำนวณขั้นพื้นฐานมาสร้างเป็นรหัสลับที่ดูเหมือนจะมีความซับซ้อน  แต่นักมายากลคณิตศาสตร์สมัครเล่น ก็สามารถไขปริศนาได้อย่างน่าอัศจรรย์ใจ

     นักมายากล ให้ผู้ชมเลือกจำนวนที่มีค่าไม่เกิน  100  ไว้ในใจหนึ่งจำนวน และตัวเลขทั้งสองหลักต้องไม่ซ้ำกัน  เช่นเลือก  1  ได้ เพราะเมื่อเขียนเป็นสองหลักจะหมายถึง  01  แต่เลือก  22  ไม่ได้ เพราะตัวเลขซ้ำกัน

     เมื่อผู้ชมเลือกจำนวนได้แล้ว นักมายากลบอกให้ผู้ชมสลับที่ตัวเลขทั้งสอง คือเปลี่ยนตัวเลขในหลักหน่วยไปอยู่ในหลักสิบ  และเอาตัวเลขในหลักสิบไปไว้ในหลักหน่วย  เช่น  จำนวนที่เลือก คือ  47  ให้สลับที่ตัวเลขได้จำนวนใหม่เป็น  74

     นักมายากลบอกให้ผู้ชมหาผลต่างของจำนวนทั้งสอง โดยให้จำนวนที่มีค่ามากกว่าเป็นตัวตั้ง แล้วลบออกด้วยจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า  และจำคำตอบที่ได้เอาไว้  หรือจะเขียนเพื่อกันลืมก็ได้ แต่อย่าให้นักมายากลเห็นเป็นอันขาด  เช่น  เลือก  47  สลับที่ได้เป็น  74   ดังนั้นหาผลต่างได้ดังนี้   74 – 47  =  27    จำคำตอบ  27  ไว้ในใจ 

     เมื่อผู้ชมหาผลต่างเรียบร้อยแล้ว นักมายากลหยิบกระดาษรหัสลับขึ้นมา  1  แผ่น  และส่งให้ผู้ชมดูว่าจำนวนที่เป็นคำตอบนั้นตรงกับตัวอักษรใด  นักมายากลรับกระดาษรหัสลับคืน หลับตาทำสมาธิ  2 – 3  วินาที และเมื่อลืมตาขึ้นก็บอกตัวอักษรตัวนั้นได้ถูกต้อง

          ( ผู้ชมปรบมือแสดงความชื่นชม   นักมายากลคำนับผู้ชม   จบการแสดงมายากลชุด รหัสลับสลับเลข )

ตัวอย่างแผ่นรหัสลับ

ทำได้อย่างไร

     ก่อนอื่นต้องขอให้ทำความเข้าใจเรื่องระบบเลขฐานสิบกันก่อน   ระบบเลขฐานสิบเป็นระบบเลขฐานที่เราใช้กันในชีวิตประจำวัน มีสัญลักษณ์ใช้อยู่สิบตัว คือ  0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,  6 , 7 , 8  และ  9     โดยมีค่าประจำหลักดังนี้

          เช่น   จำนวน     4,503.217   สามารถเขียนกระจายตามหลักได้ดังนี้

     4,503.217  =  ( 4 x 10³ ) + ( 5 x 10² ) + ( 0 x 10¹ ) + ( 3 x 10⁰ ) + ( 2 x 10^–1 ) + ( 1 x 10^–2 ) + ( 7 x 10^–3 )

                       =   4000 + 500 + 0 + 3 + 0.2 + 0.01 + 0.007

   กลับมาที่การแสดงมายากล  สมมุติว่าผู้ชมเลือกจำนวนเลขสองหลัก คือ  AB   โดยที่  A  และ  B  ไม่ใช่ตัวเลขตัวเดียวกัน เพราะไม่ให้ใช้จำนวนที่มีตัวเลขซ้ำกัน

  เมื่อเขียนกระจายตามหลักจะได้     AB   =   ( A x 10¹ ) + ( B x 10⁰ )

                                                          =   10A + B

 และเมื่อมีการสลับตำแหน่งจะได้เป็นจำนวน  BA

                                   ดังนั้น    BA   =   10B + A

       ต่อไปให้หาผลต่างของจำนวนทั้งสอง ซึ่งหมายความว่าให้นำจำนวนที่มีค่ามากกว่าเป็นตัวตั้งแล้วลบออกด้วยจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า

     กรณีที่ 1    ถ้า  AB  มีค่ามากกว่า  BA     (  เช่น   52   มีค่ามากกว่าจำนวนที่สลับที่ คือ  25  )

               จะได้ผลต่าง   =   AB – BA

                                   =   ( 10A + B ) – ( 10B + A )

                                   =   10A + B – 10B – A

                                   =   9A – 9B

                                   =   9 ( A – B )

     กรณีที่ 2    ถ้า  AB  มีค่าน้อยกว่า  BA     (  เช่น   39   มีค่าน้อยกว่าจำนวนที่สลับที่ คือ  93  )

               จะได้ผลต่าง   =   BA – AB

                                   =   ( 10B + A ) – ( 10A + B )

                                   =   10B + A – 10A – B

                                   =   9B – 9A

                                   =   9 ( B – A )

          จากทั้งสองกรณีจะเห็นได้ว่าค่าของผลต่างเป็นพหุคูณของ 9  หรือก็คือค่าของผลต่างที่ได้ต้องมี  9  เป็นตัวคูณอยู่ด้วยเสมอ    ในขณะที่ค่าของ  A – B  หรือ  B – A  สามารถเป็นได้ตั้งแต่  1  ถึง  9   แสดงว่าผลต่างที่ได้จะต้องเป็นเพียงค่าใดค่าหนึ่งต่อไปนี้เท่านั้น  คือ   9 , 18 , 27 , 36 , 45 , 54 , 63 , 72  หรือ  81

          ดังนั้นในการสร้างแผ่นรหัสลับ  ตัวอักษรที่จะเขียนอยู่กับตัวเลข 9 , 18 , 27 , 36 , 45 , 54 , 63 , 72  หรือ  81 ต้องเป็นตัวอักษรตัวเดียวกัน  ซึ่งนักมายากลจะสามารถทายตัวอักษรได้ทันที   แต่ต้องสร้างแผ่นรหัสลับที่ไม่ให้ผู้ชมสังเกตพบลักษณะพิเศษนี้ได้ง่าย  โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าต้องแสดงซ้ำหลายครั้งก็จำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องทำแผ่นรหัสลับที่แตกต่างกันออกไปหลายๆ แบบ

ตัวอย่างแผ่นรหัสลับ

ตัวอย่างแผ่นรหัสลับ