คณิตศาสตร์กับศิลปะ 1 ศิลปะของเอสเชอร์ (2)

การแปลงทางเรขาคณิต

     สมมาตร (Symmetry) โดยทั่วไปจะหมายถึงสองความหมาย ความหมายแรกคือการรับรู้ถึงการเข้ากันได้ หรือความงามได้สัดส่วน และความสมดุล ดังความสวยงามหรือความสมบูรณ์แบบที่สะท้อนออกมา ในความหมายที่สองคือความเที่ยงตรงและความคิดที่ชัดเจนของความสมดุลหรือ "รูปแบบความคล้ายคลึงในตัวเอง" ที่สามารถพิสูจน์หรือตรวจสอบได้ตามกฎของระบบในเชิงรูปนัย โดยใช้เรขาคณิต  จนถึงฟิสิกส์ หรืออื่นๆ

     แนวความคิดเรื่องความเที่ยงตรงถูกต้องของสมมาตรมีหลากหลายวิธีตัดสินและนิยาม เช่น สมมาตรอาจจะใช้ในประเด็นของเวลาที่ผ่านไปตามความสัมพันธ์ของตำแหน่งตามการแปลงทางเรขาคณิต เช่น ขนาด , การสะท้อน , การหมุน  ตลอดจนการแปลงฟังก์ชันชนิดอื่นๆ และตามมุมมองของวัตถุนามธรรม , แบบจำลองตามทฤษฎี , ภาษา, ดนตรี และความรู้

          สิ่งที่ตรงข้ามกับสมมาตร คือ อสมมาตร (Asymmetry)

ภาพ สมมาตร และอสมมาตร       

ภาพจาก  http://th.wikipedia.org/wiki/สมมาตร

          หรืออาจจะอธิบายแบบเรียบง่ายได้ว่า สมมาตร  หมายถึงการมีสัดส่วนที่เหมือนกันหรือเท่ากับเท่ากันทั้งสองด้านของแกนสมมาตร

          การแปลงทางเรขาคณิตในระดับมัธยมศึกษาตอนต้น จะเรียนเกี่ยวกับ การเลื่อนขนาน (Translation) การสะท้อน (Reflection) และ การหมุน (Rotation)  ซึ่งในเว็บไซต์  school.net.th  ให้คำอธิบายไว้ดังนี้

          การเลื่อนขนานต้องมีรูปต้นแบบ ทิศทางและระยะทางที่ต้องการเลื่อนรูป การเลื่อนขนานเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการเลื่อนรูปต้นแบบไปในทางทิศทางใดทิศทางหนึ่งด้วยระยะทางที่กำหนด จุดแต่ละจุดบนรูปที่ได้จากการเลื่อนขนานมีระยะห่างจากจุดที่สมนัยกันบนรูปต้นแบบเป็นระยะทางเท่ากัน  การเลื่อนในลักษณะนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “สไลด์ (slide)”

          การสะท้อนต้องมีรูปต้นแบบที่ต้องการสะท้อนและเส้นสะท้อน (reflection line หรือ Mirror line) การสะท้อนรูปข้ามเส้นสะท้อนเสมือนกับการพลิกรูปข้ามเส้นสะท้อนหรือการดูเงาสะท้อนบนกระจกเงาที่วางบนเส้นสะท้อน การสะท้อนเป็นการแปลงที่มีการจับคู่กันระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อน โดยที่

     1. รูปที่เกิดจากการสะท้อนมีขนาดและรูปร่างเช่นเดิม หรือกล่าวว่ารูปที่เกิดจากการสะท้อนเท่ากันทุกประการกับรูปเดิม

     2. เส้นสะท้อนจะแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบกับจุดแต่ละจุดบนรูปสะท้อนที่สมนัยกัน นั่นคือระยะระหว่างจุดต้นแบบและเส้นสะท้อนเท่ากับระยะระหว่างจุดสะท้อนและเส้นสะท้อน

          การหมุนจะต้องมีรูปต้นแบบ จุดหมุนและขนาดของมุมที่ต้องการในรูปนั้น การหมุนเป็นการแปลงที่จับคู่จุดแต่ละจุดของรูปที่ได้จากการหมุน โดยที่จุดแต่ละจุดบนรูปต้นแบบเคลื่อนที่รอบจุดหมุนด้วยขนาดของมุมที่กำหนด จุดหมุนจะอยู่นอกรูปหรือบนรูปก็ได้  การหมุนจะหมุนตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกาก็ได้  โดยทั่วไปเมื่อไม่ระบุไว้การหมุนรูปจะเป็นการหมุนทวนเข็มนาฬิกา  บางครั้งถ้าเป็นมุมที่เกิดจากการหมุนตามเข็มนาฬิกา ขนาดของมุมอาจใช้สัญลักษณ์  –x^๐  หรือ ถ้าเป็นมุมที่เกิดจากการหมุนทวนเข็มนาฬิกา ขนาดของมุมอาจใช้สัญลักษณ์  x^๐

          หรือคำอธิบายของผู้ช่วยศาสตราจารย์วินิจ  วงศ์รัตนะ ในหนังสือคู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.1-2-3  ดังนี้

       การเลื่อนขนาน คือ การกระทำที่ทำให้รูปทรงเคลื่อนที่ไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง โดยที่รูปร่างและขนาดของรูปทรงนั้นไม่เปลี่ยนแปลง

     การหมุน คือ การกระทำที่ทำให้รูปทรงเคลื่อนที่รอบจุดใดจุดหนึ่งหรือแกนใดแกนหนึ่ง โดยไม่ทำให้รูปทรงและขนาดของรูปทรงนั้นเปลี่ยนแปลง

       การสะท้อน คือ การเปลี่ยนสภาพของรูปทรงให้อยู่ในลักษณะที่สมมาตรกับรูปทรงในสภาพเดิม รูปทรงใหม่นี้มีลักษณะคล้ายกับภาพที่เกิดขึ้นในกระจกเงา

                                                  ภาพการเลื่อนขนาน

 ดัดแปลงภาพจาก http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/session7/part_c/index.html

ในภาพ  รูปดาวจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางตามลูกศรโดยที่รูปร่างและขนาดไม่เปลี่ยนแปลง

ภาพการหมุน

จากหนังสือคู่มือเตรียมสอบ คณิตศาสตร์ ม.1-2-3

โดยผู้ช่วยศาสตราจารย์วินิจ วงศ์รัตนะ

     ในภาพ รูปสี่เหลี่ยม A^/B^/C^/D^/ เกิดจากการหมุนรูปสี่เหลี่ยม ABCD ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม 180^o   มีจุด O เป็นจุดหมุน   โดยที่ขนาดและรูปทรงของรูปสี่เหลี่ยม A^/B^/C^/D^/  ยังคงเหมือนกับรูปสี่เหลี่ยม ABCD

ภาพการสะท้อน

ดัดแปลงภาพจาก  http://art.unt.edu/ntieva/pages/about/newsletters/vol_14/no_1/ReflectionLG.jpg

ในภาพ ตัวอักษร E  สะท้อนผ่านแกนของการสะท้อน ทำให้เกิดภาพใหม่ซึ่งเหมือนกับการเห็นภาพสะท้อนในกระจกเงา

          นอกจากนี้ยังมี การสะท้อนแบบเลื่อน (Glide Reflection) ซึ่งเป็นการแปลงอีกชนิดหนึ่ง ประกอบด้วย การสะท้อนและการเลื่อนขนานที่เกิดขึ้นเป็นลำดับ โดยเกิดจากการสะท้อนก่อนแล้วตามด้วยการเลื่อนขนาน สิ่งสำคัญของการสะท้อนแบบเลื่อน คือ แกนสะท้อน ระยะทาง และทิศทางในการเลื่อนขนาน

ภาพการสะท้อนแบบเลื่อน

ดัดแปลงภาพจาก  http://www.learner.org/courses/learningmath/geometry/session7/part_c/index.html